y/[ CIIAI'ITIŒ VI. — AI'PLICXTIONS OKOMÉTRIQUES

En portant ces valeurs dans L el M, il \ient

^ ô-x ôx y^ ()'-x dx

"' ~ ^^ Ju^ àv Jmà du- au '

•^ O-x dx p^ ^'■^' '^~'' v\^ '^^^ ''•'' r ^'^'^ ^-^

~ ^ du dv dv ^ du dv du ^ du^ dv Aai du'^ du '

Toutes les quantités liguranl dans ces formules sous les signes 2, s'expriment (n° 470, p. 266) en fonction de E, F, G et de leurs dérivées. Donc, tous les coefficients de l'équation différentielle des lignes géodésiques ne dépendent que de E, F, G et de leurs dérivées.

Il en résulte que, dans Vofjplicalion de deux surfaces l' une sur Vautre, les lignes géodésii/ues de r une ont pour courbes transformées les lignes géodésiques de l'autre : autrement dit, la propriété pour une ligne d'être géodésique se conserve dans la déformation.

477. Nous allons clierclier une autre formé de l'équation différentielle des lignes géodésiques. Prenons comme paramètre, sur une telle ligne considérée comme inconnue, lare >v de la courbe; «, (^ seront des fonctions de s liées par la relation

Pour exprimer que la ligne en question est ligne géodésique, il faut exprimer que sa normale principale en chaque point est normale à la surface, c'esl-à-dlie perpendiculaire aux deux directions de coefficieiils

du'

'dv'

dv '

(Jr, étant donnée une courbe, si l'on prend l'arc comme variable dépendante, la normale principale a pour coe On a, en effet, avec les notations habituelles.

indépendante, la normale principale a pour coetticients -rv' ■;7T' TT

ai d'x K~ Ts

On a donc les deux conditions

'^ dx d'-x ' ^ Ou ds- ~

■^ dx d'^x jhd ïïT ds-

Mil. — I.IGM'.S tiKOlIKSIQIKS. 1j5

\ni\> allons leur ddiiiicr une loiiiic (hni-iiiili-. l'^divons |)Our crhi

():r (i^ T ^ (Is Ou ! dx \ Ou. I

du (/s- ds ds ds

(le sorte que la première eoiulilion (5) peut s écrire

d( — ) d v^ dx Ox ^ dx \ Ou '

ds ^^ ds Ou ^U ds ds

,^ . dx Ox du dx dv

nemplacoiis -;- par -, — | — ■ 7-5 nous aurons

^ ' ds ^ Ou. ds oc ds

dx dx „ du

^ dx Ox du dv

^i ds Ou '' ds ds

Nous avons, d'autre part,

d / àx\ d'-x du d^x dv

ds \du / du- ds dudr ds

dx d I Ox \

Ox 0'- X

•^ dx d ( ''^ \ I du \- ■^ Ox 0-x ^ ds ds \ du j ~ \ds j ^ Ou du'^

' du \ ( dv\ / ^ d.v d'-x -^ dx d- x \ds/ \^dû dudv '^ jàU'dv Ou-

( dv\^ V^ dx d- X \ ds I ^ÊÂ dv du dv ce qui s'écrit

"Y dx d/dx\ i^dE ( duy ^ ^ f ^\ f ^\ ^/^V"! Jmd ds ds \du / 1 du \ ds / du \ ds J \ds / du \ ds / J

La première condition (5) prend donc la forme suivante :

ïàE/duy dF /du\ /dv\ àG/dvy-^ y ôû \ds/ '^^ôû \ds/ \ds/ "^ dû \ds) J ~ ° '

'■* ' 7h ^ Ts) YdE/duY- d¥/du\/dv\ dG /dvY

d*' même, la seconde condition est

'"' ' <ls "" " ds) r^ fchir- à¥ /du. /dv\ dG /rfç^y 1 ds y Ov V ds) ^ ''' Ov \d^) \7n) ^ IF [d^) J ~ "

Nous avons deux équations différenlielles du second ordre par rapport à n et r considérés comme fonctions de s. A ces deux équations

il faut joindre la relation

Ces relations vont nous être utiles pour démontrer une propriété importante des lignes géodésiques.

478. Calcul des variations. — Considérons, dans un plan rapporté à deux axes de coordonnées, deux points A(a7o, j'o)? ^(■^nJKi) et une courbe C passant par ces deux points, d'équation

Supposons qu'on donne une fonction V(.x-,y, j^') dépendant de x, de y=zf[x) et de la dérixée àe y par rapport à ^, qu'on suppose exister en tout point. A une courbe C déterminée joignant les points A et B correspond, pour la fonction \ , une valeur déterminée.

Cela posé, considérons l'intégrale

U = ^ y{x,y,y)dx.

qui est en quelque sorte une intégrale curviligne prise le long de C. Proposons-nous de déterminer la courbe G de telle manière que U ait sa valeur minimum.

Supposons le problème résolu, et soit

l'équation de la courbe chercbée. Faisons rentrer cette courbe dans une famille de courbes dépendant d'un paramètre. Nous obtiendrons ce résultat en prenant, par exemple, la famille de courbes suivante :

jK = F(.r, a) =/(a") -4- a(a7 — a"o)(a7 — x^) o{x,'j.),

cp étant une fonction arbitraire de x et de a assujettie seulement à conserver une valeur finie et à avoir des dérivées également finies. On reconnaît que pour a = o on obtient la courbe C. De plus, on a, quel que soit a,

L'équation j' = F(a?, a) représente donc bien une famille de courbes passant toutes par A et B, et cette famille renferme la courbe C.

MM. — LIGNES GlioOKSlQIÎKS. 277

Si, dans V, on fail y r=: F(.r, a), U devient une eerlaine loncuion de a, (jui doit avoir sa valeur niiniiuiiui pour a :=: o. (hie condiliou

nécessaire pour cela est (iiie la d<'Tivëe -— soil ludlr iiniir a = o. I 1 di '

llemarijuons que y esl loiicliou de x v\ de a, (|u on a y' = —

et que F(:r, a) prend, quel (jue soil a, la même valtnir jjour x = Xf,:

de même pour .r = a^i . U en résulte que -j- doit être nid pour .r = x,^

et X = X f, quel que soil a.

Cela élant, nous avons

doi

dY - Evaluons — > \ dépendant de a par lintermédiaire de y et de jk'

Or, on a

dOL

dY dy dV dy' dy d% ' dy' da

dy'

d^y \ di 1

ÔOi

dx dy. dx

dV dy dW \cya / ')y 1)7. dy' dx

dx.

Iranstormons 1 intégrale / -— ; — ^ dx: on a, en inteiirant par

'^ , ' dy' dx ' b I

parties,

rdY J àf

d(^ àY \ doL

dY dy r dy

dy' doc J doc

dy \ dy'

dx,

1 ^ /àY\ ...... dY . -J ' .

en entendant par -r- ( — ; la (icrivee de — r prise en considérant )' ' f/.r V dy J (ty ^

et y' comme fonctions de x. Prenons les intégrales définies, nous

avons

V doi ) , / à\ dyy r''<Jy ^'

r"'"^' w^ / 7 . / 1^^' dry r'''^y K'J.y

dx.

Comme -^ est nul poui' x = Xq et .r =r j^j, la première expression

l-jS CHAPITRE VI. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

du second membre est nulle, de sorte qu'on peut écrire

da J 0% [<Jy-

et cette (|uantité doit être nulle pour que L puisse être miuiiuum pour la courbe C. Je dis que, si la fonction U est minimum pour 1 arc AB de la courbe C, elle l'est aussi pour une portion quelconque de l'arc. En effet, si elle ne l'était pas, il y aurait deux points A,, B, entre lesquels on trouverait un nouvel arc A, B, pour lequel la fonction U aurait une \aleur moindre. En raccordant cet arc aux arcs AAi et B, B de C, on aurait une nouvelle courbe pour laquelle U aurait une valeur plus petite que pour la courbe C, ce qui serait contraire à l'hypothèse.

La fonction U étant minimum pour une portion quelconque de l'arc, je dis qu'il en résulte qu on a, en tout point de l'arc,

dy dx

En efi'et, supposons que le premier membre de cette équation ait une \aleur positive pour tous les points d'un certain arc; on peut

trouver pour y une fonction F(x, a) telle que — soit positif, autrement dit on peut faire rentrer la courbe à laquelle appartient l'arc considéré dans un faisceau tel qu'en passant d'une courbe du faisceau

à l'autre, -p reste différent de o et positif. Dans ces conditions, — aurait

une valeur différente de o, ce qui serait contraire à l'hypothèse. En résumé, une condition nécessaire pour que l'intégrale U soit minimum le long de la courbe C est qu'on ait, en toiit point de C,

Dans chaque question particulière, il y a lieu de voir si cette équation, qui est une équation différentielle du second ordre en y, définit une courbe déterminée à laquelle correspond effectivement un minimum pour U.