XIII. — i,u;m:s (.koiiésic»ii;s. i
Soieiil (ao,»oK ("d^'i) 'es coordonnées <iir\ ilij;iic> «If (Ifux |i(>iiils donnés A et 13 sur iiiir suiTacc l)(''rinissons iiiif coiirlic [);i>siml [».ii ces deux points jiar une rcliiliou df hi lorine i" = 'iiu), cl cluMclions à quelle relation doit satisfaire la fonction o pour que Tare \B de cette courbe soit iniiuimim. I.a lonp,ueur de cet arc AI» ol
^ M -+- v. K v' -^ ( j v'- dii^
V étant remplacé dans la fonrlifui sous le radical |)ar 's( u). En appliquant l'équation (8) du numéro précédent, on voit qu'une condition nécessaire pour que U soit minimum est qu'on ait
V/E — -2 Kc'-r- Gf'2/ (h- ()V tiv
En introduisant la différentielle ds de 1 arc, qui est égale à
y/E + 2Ft''+ Gv^ du, cette condition s'écrit F -r/tt -u G df
\ ds j XôE/da''^ o¥ fdu\/dv\ dG ( dvy-l
^9^ ds [^(i^j -''-^^^sjKTsj-^-ô^ydSj J="-
C est l'une des conditions que nous avons obtenues (n" Ail) pour qu'une ligne soit géodésique sur la surface. En intervertissant le rôle de u et c-, on montrerait que cette ligne satisfait aussi à l'autre condition. Donc, le plus court chemin d' un point à un autre sw une sur/ace ne peut être qu une ligne géodésique.
Cela étant, supposons qu'on ait tracé sur la surface : i' une famille de lignes géodésiques telles que par un point de la surface passe une ligne de cette famille et une seule; 2" une famille de courbes orthogonales aux premières. Rapportons la surface à ces deux familles prises comme courbes coordonnées ; prenons comme courbes w = const. les géodésiques, comme courbes « = const. les courbes orthogonales. Cherchons la forme des fonctions E, F, G. On a
d'abord
En second lieu, la ligne v = const. doit satisfaire à l'écpiation fg ). On reconnaît que cela exige
oE
28o CHVPlTRi; VI. — APPLICATION? GKOMKTniQlES.
E se réduit donc à une foncliDii de u. Le carré de rélément linéaire de l'arc est, jiar suite, de la forme
Prenons un nouveau paramètre tel 'que sa difrérentielle soit égale à ^/E(«) du. On voit que ds- prend la l'orme
ds- — (/»- -f- G{u, r ) (/i-,
et, pour une ligne géodésiquo. nous aurons
ds^= du-.
La distance de deux points Ai ?/o. io^- B( //, , v „") sur une géodésique est donc
Considérons une iiiilre ctuirhe joignant les jtoints A el B. La longueur de l'arc AB sur cette rourhe est
= / V ' "^ Gi- - lia.
C'est l'intégrale de 1 expression y/i-f-Gv-, qui est constamment supérieure à i, c est-à-dire à la dérivée de u. Donc la valeur absolue de L est supérieure à [ //, — u^ \ et, par suite, à | 5, — Sq |. Les Usines géodésiques sont donc Ok'/i des courbes de longueur /ninimu/n. tout au moins dans une région siit'lisammiMil [letite.
