Cela posé, considérons un produit infini de la toruie

(H- Ui){i-+- ;<j !.. .((-+- «,,)

Je dis qu"///? produit de cette forme, où les nom/tres ?/,, u^

282 chapithe vu. — FO^'CTIo^s elliptiques.

ii,ii • • • sont réels et positifs, est convergent ou non en même temps que la série de terme général Un est convergente ou non. En effet, supposons d'abord cette série divergente; la somme de ses n premiers termes tend vers + oc avec n. Or, on a

P/i = ( I -I- Wi ) (l -1- Mo ) • • • ( I -+- «« ) > 1 -H » I -f- . . . -^ Un ;

donc P„ tend vers -t- oc.

Supposons maintenant que la série soit convergente. On a

e''i>i-f-Mi, e"»>i-t-«2, .-., e"">n-M^, d Où

e".+">+-+"»> (l-h Mt)(l -H M.,)...(l -+- Un).

Quand n grandit indélinimeiit, le premier membre, par suite de la convergence de la série, tend vers une limite. Le second membre, qui est P«, va en croissant et reste inférieur à cette limite; il a donc, lui aussi, une limite P.

Je dis que cette limite est indépendante de l'ordre des facteurs du produit, c'est-à-dire que si l'on opère nn déplacement de termes dans la suite Mi, «2? •••^ "«< •••' de façon à former une suite f,, i'j, ..., t'„, ... composée des mêmes termes écrits dans un autre ordre, le produit

est convergent et a même limite que le premier. D'abord, il est convergent parce que la série

t'i +- P"., -h. . .-h t^rtH-. . .

est convergente. Soit P' sa limite.

Fixons un nombre /i, et prenons q assez grand pour que, parmi les q premiers termes v, se trouvent les n termes «i, Wo, ..., m,,. Nous aurons, comme tous les facteurs sont supérieurs à i ,

P« i P'^ i P'. On en déduit, en faisant croître // indéfiniment,

P = limP„^P'.

On montrerait de même que l'on a P'<P. En lésumé, on a

ce qui démontre la proposition.