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482. TiiKOuÈME oÉNÉiiAL. — S/' Il \ ^ n>, •••, "//, ••• sonl <lcs noinhrcs complexes formant une série absolument, con^'ergentc, le proiluit

est convergent; il a une valeur dijjérenle de zéro, à moins que l'un fies facteurs ne soit nul; cette valeur est indépendante de l'ordre des facteurs.

1" Gardons les notations précédentes, et posons, en outre,

u'n = 1 u„ j et

La série

étant par lijpothèse convergente, le produit P^, qui rentre dans le cas du n" 481, est convergent; soit P' sa limite. Donnons-nous un nombre positifs. En vertu du théorème de Cauclij sur les limites (t. I, p. i5 ) et du fait que P„ tend vers P', il existe un entier p tel que, pour n^ p, on a, quel que soit A >> o,

Formons, d'autre part, l'expression P«+a — P» :

Pn+h—^n= (I-H Ml )...(•-+- «„)[(! -h U«-t-i ) . . . (l + "„+/,) — l]-

On voit que le second membre, si on le suppose développé, est une somme de termes dont chacun est le produit de certains facteurs u et est alTecté d'un coefficient positif. L'expression P^^^^ — P^, diffère de la précédente en ce que chaque quantité Un est remplacée par u'^j, de sorte que les termes de cette seconde expression sont égaux respectivement aux modules de ceux de la première. Il en résulte qu on a

I » n+A — Prt 1 = P«+/i "il

et, par suite,

En résumé, à tout nombre positif s correspond un entier p tel que l'on a, pour /i > /.» et A >» o,

Cela prouve, d'après le tlu'orème de Cauchy (p. 4)? ^"^ ''* quantité P„ a, pour n inliui. une limite déleiiuiiiée.

2° Je dis que, si aucun facteur du produit n^esl nul, cette limite P est différente de zéro.

Un tendant vers zéro, on a, pour n supérieui à un certain entier/»,

Mettons de côté les termes pour lesquels cette inégalité n'a pas lieu, c'est-à-dire supprimons au commencement du produit les termes de rang inférieur ou égal à />, et supposons que parmi ces termes aucun ne soit nul. Tout revient à montrer que le produit infini commencé au (/? -f- 1)"='"^ terme a une limite dilFérente de zéro, ou, en d'autres termes, qu'un produit infini dans lequel tous les u sont plus petits que i en module a une limite dillerente de zéro. On a en effet, dans ces conditions.

L inverse de cette quantité est un nombre fini cpie nous écrivons

de sorte que nous avons

Je dis que ce produit -^ a, pour n infini, une limite finie, c'està-tlire que c'est un produit infini convergent. Posons

nous avons, comme Un tend vers o,

hm — = i.

Donc la série de terme général v,, est absolument convergente,

comme la série des u„. Par suite (i"), le produit -^ est convergent;

donc le produit P,; a une limite différente de zéro.

3° Montrons enfin que cette limite P est indépendante de l'ordre des facteurs.

Soient t',, 4^2, ..., Vni ... les quantités ;/,, Wo, ..., m„, ... écrites