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dans un aiilrc ordi-c. l'osons

Q'n= (i -^ ^''i)(i ^ i'-i). • Al ^ V'n)'

La série de ternie i;én(''ral c,/ i'l;iiil al)Solunicnt convergente, le produit Qn est convergent; soit (^ sa limite. D'autre part, P)^ et Q), (qui rentrent dans le cas du n" 481) ont des limites P' et Q' qui sont égales.

Donnons-nous un nombre positif e; nous pouvons trouver un entier p tel (pie Ion ail. (|U(d (pie soit h >/?,

|Pa-P'|<s, iQ;,-Q'|<e.'

h étant choisi plus grand que p, prenons un entier li''^h assez grand pour que tous les facteurs (i-f-w,), ..., (i + «^) appartiennent au produit Q^ . On reconnaît que dans ces conditions l'expression Qa — P/i est une somme de termes dont chacun est le produit de certains fadeurs u. On en déduit, comme plus haut {cf. i"),

! Q/.'- Pa i ^ ! Q);.- Pa ; ^ i QÂ-- Q' 1 + i P^i- P'I,

d"où

IQ/.'— P/,i<2£.

Quand li grandit indéfiniment, h' grandit aussi indéfiniment, Q^et P^ tendent respectivement vers Q et P, et l'on a

IQ-P <2e;

£ étant arbitraire, cela montre ([ne l'on a

ce qui démontre la jiroposition.

On dit, dans ces conditions, que l'on a un produit infini absolument convergent.

483. Considérons maintenant un pi'oduit infini dans lequel les facteurs sont fonctions d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes. Le produit infini runstitue lui-même une fonction de ces variables. Posons, comme précédemment,

P/, = ( 1 -T- £<i ) ( I -H «2 ) • • • ( 1 — "« ) ; nous avons

Pn+l = P« ( I ~i~ "«-1-1 j = P« -r- "«-Hl P«5

•iS6 CHAPITRE VII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES.

el, si le produit est convergent et a pour limite P, nous pouvons écrire

P = limP„=P,+ (P.,-P,) + (P3-P2)-^-..+ (P«-+-i-P«)+..., ou, d'après la relation précédente,

P = I -t- «1 -4- Pi ?<2+ Pï^S-!-' ••-!-?« lln+l -H. . ..

Nous avons dans le second nieiiibr<' de cette relation une série; nous dirons (qu'elle est équivalenLe au produit donné.

Supposons que les fonctions Mi, u^-, •••■, u„, ... forment une série nornuilement convergente, c'est-à-dire qu'il existe des nombres positifs ^1, g-x., . . ., gni • • • formant une série convergente et tels que

dans les domaines que l'on considère, l'osons

Le produit 0,^ rentre dans le cas du n° 481 et a une limite G quand n croît indéfiniment. D'autre part, de

I 1*11 I = Sn

on déduit, d'après un raisonnement d('jà fait,

Considérons alors la série numérique à termes positifs