III. — iNTi':(;it Ai.Ks m-: v\ui\iim;s compi.kxks
Ciola posé, siiil ii^ b, c un sysU'iiic de \al(ius de 37, y, z inltîrieiires aux domaines A, B, C. Soit y un cercle contenu dans A et auquel le point a est intérieur. Laissons (ixes les j>oinls />, c et le cercle v, et faisons varier a à l'intérieur de ce cercle.
On a, par a|)pli(alion de la fonmilc ( .! ).
d" fia, h, c) n\ r f(r, h. c) dx
n\ rf{.r
Dans l'intégrale, 6 et c sont des paramètres; la fonction à intégrer, étant quotient de deux fonctions lioloniorplies par rapport aux variables x^ <7, b, c, est clle-inéme foiu^tion holomorplie par rapport à ces variables. 11 en résiille qu'on peul appli(pier la règle de dérivation par rapport aux paramètres b et c.
En particulier, en prenant d'abord le cas de « = i , on voit que la
dérivée ^ est fonction bolumorplie de a, b, c, et cela dans tout système de domaines A.', B', C obtenu en prenant A' composé de points intérieurs à A, B' de points intérieurs à B, C de points intérieurs
à C. Il en est de même pour ;, -t ^^
' <) h oc
En résumé, cbacune des dérivées du premier ordre de f est fonction holomorplie des variables a, b, c, elle a une dérivée par rapport à chacune de ces variables, ces dérivées sont elles-mêmes fonctions holomorphes de a, 6, c, et ainsi indéfiniment, de sorte que si l'on considère les lettres a, b, c, qu'on etTectue sur y des dérivations par rapport à a, b^ c en nombre quelconque et dans un ordre quelconque, l'expression obtenue a un sens
Enfin, de même que pour les fonctions de variables réelles, Vordre des dérivations est indifférent. Il suffit de le vérifier d'abord pour une fonction holomorplie de deux variables 5, z' et pour les deux dérivées
Oz (iz Oz Oz
Posons On a
t>, Z'=x'-^iy, /=:P-HtQ.
Oz Oz' Ox Ox'
of Oz "
Ox
or '
oz' Oz
OîP . J2 0
Ox' Ox ' "^ Ox' Ox
24 CHAPITRE IV. — FONCTIONS ANALYTIQtES.
On voit que - — —, et — -r— sont identiques à cause de l'identité
' oz dz dz dz '
de 3 — j— , avec -—, — et de - — -^ avec
dx dx' dx' dx dx dx dx' dx
Comme pour les fonctions de variables réelles, on en conclut que d'une façon générale l'ordre des dérivations est indiflérent.
La conclusion est la suivante : Toute fonction f(^x ^ }\, z\ holomorphe par rapport aux variables complexes x, y^ z^ a des dérivées de tous les ordres par rapport à ces variables, V ordre des dérivations étant indifférent, et cela pour tout système de points «, 6, c intérieurs aux domaines d'fiolomorphie.
229. Fonctions harnionirjues. — Considérons une fonction d'une variable complexe
Ecrivons les relalions d'Iiolomorphie
dx dy dy dx
Nous savons que les fonctions P et Q ont des dérivées de tous les ordres, en particulier des dérivées secondes. Dérivons la première relation par rapport à .r, la seconde par rapport à / et ajoutons.
Il vient
(P P d'^P dx- ' dy'^
Dérivons de même la première par rapport à r, la seconde par rapport à ^ et ajoutons-les après avoir midiiplié la seconde par — i . Il
vient
£2Q^ d^ ~dx^^ 'dy^ ~ °'
P et Q sont donc solutions d'une même équation aux dérivées partielles du second ordre qu'on appelle écjuation de Laplace. D'une façon générale, on appelle fonction harmonique toute fonction qui satisfait à cette équation.
