I. — l'iiom lis INFINIS. 7.S

•iSi. Dérivée loi^aril liDiiiiuc (T 11 n /iiodiiil in/ïni. Soit

f{Z) = (I -i- «1 !.. .(IH- Un ). . .

nu jM'odiiil iiilini, les //„ rl;iiil foiiclKtiis iHildinorplics d une; \;in,il)li'

foinj)ic\<> r, cl la série^//„ élant normalement convergente dans un

domaine IJ. Soit a„ la borne supérieure de | «« 1 dans D; a„ teiul \ers 0 quand // tend vers + 00. Prenons un nond)re p tel que o<<p<C'; quand // dc'passe un certain (entier yy, on a a„ << p. Posons

(1) f{Z) =(l -f- «l)...(H-it;,jO(5),

(2) o{z) = {i-^ Up-^i). . A\^ u„)

D'aiilrc jiart, en supposant | w ] < i , désignons par Log(i + u) la délenninalion du logarithme qui s'annule avec m, et qui est rej)rrsentée (n" 253, p. 53) par la série

Cette série représente une fonction liolomorphe dans tout le cercle [ m | £ p, puisqu'on a p <C i •

Le rapport de cette fonction à u est égal à la série

qui, élant comme la précédente, liolomorphe dans le cercle j m j^p, reste dans ce cercle inférieure en module à un nombre fini M. On a donc, sous la condition [ m ] ^ p,

et par suite, pour n >/>,

I Log(i ■+- Un) l = Ma„.

On en déduit que la série

(3) Log(i-+- U,,+x)^. ..-H Log(i-^ Un) -H-.. .

est normalement convergente dans D; elle représente donc une fonction holoinorphe en tout point intérieur à D, soit g^z); on déduit

de (3)

ce qui s'écrit

cp(-j = (l -h «/,+l). . .(1 -H Un). . .= eS^^K

Par conséquent, g{z) est, pour chaque valeur de 2, égale à une détermination de Loges (2).

La série (3), étant normalement convergente dans D, peut être dérivée terme à terme, en tout point intérieur à D (n° 238, p. 36); en outre, si D, est formé des points de D dont la distance à la frontière de D surpasse un nombre positif /', la série dérivée est normalement convergente dans D,. En formant cette série et remarquant que la

dérivée de toute détermination de Log'j(5) est —, on ohlient

Ghacunedes/? fonctions (i -h «,),.. ., (i + ;/^), étant holomorphe, a, dans un domaine borné, un nombre fini de zéros (n° 1269, p. Q'j).

Soit A un point intérieur à D et pour lequel /(s) est différent de o; aucun des facteurs précédents n'est nul en A. iNous pouvons prendre un domaine borné A auquel A soit intérieur, ne conlenant aucun zéro de/(5), et contenu dans une région telle que D, obtenue par le procédé rappelé.

Chacune des fonctions , •••, est holouiorphe en tout

I ^- «1 I -t- Up r

point de A, donc reste bornée en module dans A qui est fermé et borné; il en est de même de m',, «^j • • -i "d? ^^ sorte que les p fonctions ^ — > •■ -, — - — sont bornées en module dans A. Cela étant,

par dérivation logarithmique de (1), et en tenant compte de (4), on obtient

Cette for/nule est établie pour tout point A c/ui n\innuLe pas /(z), et la série du second membre est normalement convergente dans tout domaine tel que A (par exemple, il y a certainement un cercle de centre A dans lequel la convergence normale est réalisée); par suite, on peut effectuer la dérivation logarithmique du produit f(^z)^ et dériver indéfiniment la jormule obtenue, le résultat restant toujours valable pour tout point autre qu'un zéro de f{z).