I. l'UDDt IIS INTIMS. lH<J

Les Iciines de celle série soal les dérivées l<tjj;;irilliiniijiies des expressions

Fonnons alors le produil

La série > — r— r est nonnaiemenl converireiUe dans loiil domaine

borné; par suite, le produil considéré représenle une fonclion /(s) holoraorphe dans toul domaine borné, par suite dans tout le plan, autrement dit une fonction entière. Par application du n" 484, on peut opérer la dérivation logarithmique de cette série, ce qui donne

f{z) s jà^ Z^ — rt-K-

Mais la fonction sins a aussi pour dérivée logarithmique cot:; ; on en déduit que le rapport -7- — est égal à une constante A. J'our déterminer A, donnons à z une suite de valeurs tendant vers 0 ; on reconnaît, d après (i), que "^-^ — - tend vers i comme ^3—; donc A =: i . hn

résume, on a

On peut, en parlant de là, obtenir un développement en j)roduit inlini de cos:;. On a, en efïel,

•et

En portant celle valeur ainsi que celle de sins dans la relation j)récédente et en remarquant, une fois le fadeur 2:? supprime, (pie les termes du dénominateur sont les termes de rang pair du nmncraleui-, il vient

COSS = / 1

Remarquons (pie 1 on relr(juv(' bien ainsi, en annulant le> dilierents B. — II. M»

•igo

CHAI'ITKK Ml.

FONCTIONS EI.MPTIQLES.

facteurs du produit, les zéros de cos2, de même que le développement de siii:; met en évidence les zéros de sin^.

•486. 11 V a lieu de remarquer que, dans le développement de sins, chaque terme, sauf le facteur z, peut être décomposé en un produit de deux facteurs du premier degré; mais le produit infini

^ V "~ TC / \ i: / ' \ m-/\ nir,/

que Ton obtient ainsi ne satisfait pas aux conditions de convergence. En effet, les quantités a corres|)ondantes né forment pas une série convergente. Mais je dis cpi'on |)eut écrire

SMl 5 — Z

en considérant comme facteur du produit II chaque expression

. Pour montrer que ce produit infini est con-

pour /?? = ±: I , ± ^i, vergent, posons

U,„ tend vers o avec — • Évaluons Tordre de grandeur de U,„ par rapport à — quand — tend vers o; cela revient à évaluer l'ordre de t m ' m

grandeur de Log(i + U,M) (en désignant ainsi la détermination du Log qui s'annule avec U,„). Or, nous avons

Log(. + U.„ )=^^-^ l^og (. -f-) = -1- - [-1- + -^ +...],

\j,n est donc comparable à^' en entendant par là que le rapport

de U,„ à ^^ tend vers un nombre fini quand m tend vers ±x, par m -

suite, la série de terme général U,„ (m = ± i , ±2, . . .) est normalement convergente dans tout domaine borné. On en conclut (n" 483) que TT(i H- U,«) est holomorphe dans tout domaine borné, et, par suite, dans tout le plan.