II. — DKKIMTION nr. -ïll, ^11. ]> Il . i^l

D'ailleurs ce proiluil csl cvi(l(Mii iiciit <;(|iii v.iIl'iiI au produit (iiii représciile siii3, car si Ton j^rotipe les lerincs couiim; il est iiidifiiir, eu prcuaul ilcu\ valeurs de m ('•^alt;s et de sij^^ues coulrain--,, le produit de ces deu\ tacleurs est égal au ii-rine g('a('r, il du proiluil -,iii;.

En résumé, on peut écrire

sin z = z

Celte fonction sinz et, ilune façon générale, toutes les fonctions trigononiélri(pies, les fonctions exponentielles sont des fonctions à une période. iNous nous proj)ostMis, dans ce qui suit, de définir des fonctions analytiques de 3 à deux périoles.

Défiaition de ::'//, Zu, pu.

487. Soient a et b deux nombres complexes dont le rapport est non réel. Us sont représentés dans le plan par deux, points A et B non en ligne droite avec O. Considérons les nombres de la forme nia-\- nh, où m et n j^renuenl tous les couples de valeurs entières. Leurs point> représentatifs sont les sommets d'un réseau de parallélogrammes construit sur O \, OB {/ig. 44 )•

Cela posé, éludions la série à termes positifs

^•i I ma -h iib i'- À étant un nombre positif et 7 iiidi piiiit la somme des terme;

obtenus en donnant à m et n tous les couples de valeurs entières possibles, sauf le couple m = n = o. l'accent clanl mis pour rappeler cette exclusion.

Je dis que, si\ est plus grand que 2, cette série est coincer gente. En effet, groupons les points ma H- nb de la façon suivante. Prenons d'abord le parallélogramme P, de centre O, tel que A et B soient milieux de côtés pour ce parallélogramme. Il j a sur P, huit points qui sont sommets du réseau. De plus, on voit que Ion obtiendra tous les sommets du réseau en prenant successivement tous les parallélogrammes P,, Po, ..., Pa, .... Pa étant liomothétique de P, par rapport à O, le rapport d'homothétie étant A {fig. 44)-

Soit p un nombre positif tel que le cercle de centre O et de rajon p soit intérieur à P,. Les huit sommets situés sur P, ont des modules supérieurs à p, de sorte que, pour chacun de ces huit sommets, nous avons

I ma -r- nb |* p^

P2 contient 2.8 sommets, et le modide de chaque terme correspondant de la série est plus petit que r- Dune façon générale, P/, contient 8/i sommets, et le module de chaque terme correspondant de la série est plus petit que — — x* H p'» résulte que l'on a

^d\ma^nb^- \p/ \ •>• ? / \fi?/

nb >' s>- \ 2> 1 A>-»

Si À >> 2. A — I est supérieur à i et la quantité entre crochets est une série convergente. Par conséquent, la série de terme général

r- est convergente si ). >> 2 (les termes de cette série peuvent

ma -+- nb ]'•

être écrits dans un ordre quelconque).

4'88. Remplaçons dans ce qui précède a par 2 w et b par 2m'. On

pose

t, , Il II-

iu étant mis pour d{u), I 1 désignant le produit infini des facteurs