II. — DKKIMTION l»K j l( . "^ l( . pu. Jif
obtenus en laisanL .v = 2 ///(>) + ^, /m.»', ni <i // |>irii;ml liiii> \i> ((»ii|)|fs (Je valeurs entières sauf le couple m = n rz^ o.
Nous allons (TaLord nionlrcr (|iie I 1 <s| rdin crf^fiil . iJt'si^iKui^ U'
faficur <;t''néral de ce piodiiil par 1 -f- 1/ ; on a
U est une f'onclicHi entière de — • Konnons L('g(i -\- U), <{ui est, comme I on sait, comparable à L ; nous avons
u u- (a 11^ lû \
Log(i + U)=-(i^+...).
La détermination de Log(i+ U) qui s'annule avec U est donc une fonction analvtique dont le développement en série commence par
un terme du troisième degré en — ; il en est donc de même pour U.
Soil R^o. Astreignons-nous d'abord à prendre u dans le cercle C : | m j ^R; soit p un nombre positif inférieur aux modules de tous les nombres s autres que zéro; on a, dans ces conditions,
On peut, d'autre part, écrire
bH
la série entre crochets étant fonction entière de — • Comme — reste
borné, cette série Veste bornée; soit M une limite supérieure de son module. On a ainsi
La série ^ ^ , (les terine-< de cette série étant écrits dans un ordre quelconque) est convergente (n°487); on déduit de là que la série^ U, qui a ses termes au plus égaux en module à ceux d'une série à termes positifs con\ergente, est normalement con^er^ente dans C; donc le produit M (i -f- U) représente (n" 483) une fonc-
294 CHAPITRE Vil. — FONCTIONS ELI.IPTIQVKS.
lion holomorphe dans tcut cercle C intérieur à C. Comme le rayon R
de C est arbitraire, le produit I 1 (' + I ) est holomorphe dans tout
le plan.
D'après cela, o'w est une fonction entière de a. Elle ne s'annule que si l'un des facteurs est nul (n" 482). Or, le facteur général s'annule pour it = 5, le premier pour ;/ =: o; les zéj'os de du sont donc les sowmeis du réseau des points s, chacun d'eux est zéro simple.
La fonction du est impaire. En effet, le produit 1 1 est une fonction paire, car on peut grouper ses iacteurs deux à deux en mettant dans un même groupe les facteurs correspondant à deux nomlires s opposés. Si l'on change u en — u. chacun de ces factciirs se change
en l'autre et, par suite. I | ne change pas, du étant égal au produit
■d'une fonction paire par le fadeur u est une fonction impaire; on écrit
tf ( — M ) = 'i U.
489. Par application du jnincipe dw n" WÀ. cm peut effectuer la dériNation logarithmic|ue de la formule qui d('finil du, puis ensuite dériver indéfiniment la (oimule obtenue, les résultats étant valables en tout point autre qu'un point s. On pose
lu = ^ — \-y { \ h —
r' u II ^^ \ u — s s s-
X>u ——t' u = -1, ^7 -, : rA
, 2 XT'' —
U^ Jmd ( u —
(u — sf
du étant impaire, d'u est paire; donc J^w, p' u sont impaires, pu est paire. Les seuls points singuliers de ces fonctions sont les points s; soit 5o l'un d'eux. On a, s^ étant zéro simple de du,
on en déduit
CT M u 5o ^
Donc Z,u admet 5o comme pôle siniple, avec résidu i. Par dérivation, on voit que pu admet le même point comme pcile double, la
