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i-*.M). ('Aiiisidorons hi Idriimlc

le signe ^ élanl «''Iciulii à Unis les poiiils .v. sniil I oiiijinc. < )ii pcnl

enc(»re écrire

p' Il =

le signe 7 (iniil éleiidii à lous les soiimiels du rt'seaii sans exeeplion.

Sous eetle forme, on reeonnaîl que p' ii est une l'onelion tloublement périodique ayant pour périodes ?. to et ao/. En effet, augmentons u de 2(0 par exemj)le; l'ensemble des expressions (ti — s) est identique à l'ensemble des expressions (?/-|-2a) — s), car le terme (u — 5o) du premier ensemble est égal au terme [w-|- ato — (a'o + 2(o)] <\u second.

Donc p' u ne change pas quand on augmente u de 3io. De même, on reconnaît que p' a admet la période '2to', de sorte que l'on a, m et n étant deux entiers quelconques,

En parliculier, on a

p'(u -4- -iw) = p' u, <J\)ù. en intégrant,

p (u -h o.ui ) = p u + con«t.

Pour déterminer la constante, faisons u = — (-), ce qui est b'gitirne. ce point n'étant pas sommet du réseau ; il vient

pco — p( — to ) -1- const.,

et, comme pu est une fonction paire, on déduit delà que la constante doit être nulle. On a donc

p(u -f- 2aj) = pu,

ce qui montre Cjue pu admet conin.e jiériode 2oj. On \eirait de même que aw' est aussi période.

En résumé, nous \ovons qu'fï existe des fondions aïKilviniucs uniformes doublement fiériodicjues, à sa^oir la fonction j3// et toutes ses déri\ées. Toute fonction uniforme, en particulier toute fonction rationnelle, de pu et de ses dérivées, possède la ini-me propriéti'.