III. — Théorèmes généraux sur les fonctions elliptiques

491. Considérons, d'une façon générale, une fonction admettant pour périodes les nombres ato, 2ti>', dont le rapport est non réel. Formons romme précédemment le réseau de parallélogrammes dont les sommets sont les différents nombres 1 m <ji -\- '>. nio' . Nous dirons que deux nombres complexes z, z' sont congrus, ou que les deux points correspondants sont homologues, par rapport à ce système de périodes, si la difiérence z' — z est égale à une combinaison linéaire des périodes ; on écrit alors

z' ^ z (inod.aoj, ■^. w').

Les [joints homologues d'un point quelconque A sont tous les sommets d'un réseau de parallélogrammes obleuu en faisant subir an premier réseau une translation égale au \ectcur OA. Remarquons aussi qu'étant donné un parallélogramme <]uelconque de périodes, par exemple celui qui a pour sommets les points o, aoj, aw', aoi + ato', tout point a un homologue dans ce parallélogramme.

i92. Posons

(1) 10 1 = Àw -r- JJIU»',

À et ij. étant deux entiers positifs ou négatifs. Il est évident qu'une fonction qui admet comme périodes aw et 210' admet aussi comme période 2104.

Supposons maintenant k et jj. premiers entre eux; on peut trouver (en faisant les opérations du plus gi-and commun diviseur) deux entiers )/ et p.' tels que

).[/-[jiX'=i.

Posons, dans ces conditions,

(2) t)i\ = À' te -f- fJL'o)'.

Les équations (i) et (2) peuvent être résolues par rapport à 03 et ta'; les valeurs que l'on en tire sont de la forme

w = ),] Wi -4- ;jLi coj. (o'= X'j Wj -H iJLj tuj,

}.i, [j.,, X'i , Y-\ étant des entiers. On reconnaît, d'après cela, que toute combinaison linéaire de 2w et 2(t>' est combinaison linéaire de 2(0,,

UI. — THKORKMKS GKNKRAIX SIH I.ES PONCTIONS EM.IPTIQIKfl- 2^7

2(o', , et récipror|iiemcnl. On dil que le sjsfènir r/r />rr/n(/rs 9. ».), v. (•)' est écjuàalent au systi-mc de périodes •?.^o^, :n<i\. Vax n'inf)laraiit l'un des systènirs pur la 11 tic, 011 nlihcnt les iiirm<'ssriiiinir'ts dr* n'sfMiix. Soil R l'enseinhle di\s points s obtenus on partant d'un systruie r|c périodes aw, ao)'; on dit que ce sjslcnie de périodes esi primitif pour une fonction si cette fonction admet ces périodes et n'admet pas de système de périodes tel que le réseau correspondant à ces nouvelles périodes comprendrait d'autres sommets que ceux de R.'

i93. On appelle fonction elliptiriiie une fonction 'méromorphe doublement périodique. Par exemple, pu et toutes ses dérivées sont des fonctions elliptiques.

Par définition, une fonction elliptique n'a pas d'autres points singuliers que des pôles, qui sont d'ailleurs, comme pour toute foiulmn méromorphe, en nombre fini dans toute région limitée.

49i. Une fonction elliptique entière est nécessairement constante. En eflet. le module d'une fonction entière considérée dans un domaine borné est borné. Donc le module d'une fonction ellij)tique entière est borné dans un parallélogramme de périodes. Par suite de la double périodicité de la fonction, il reste donc borné' dans tout le plan. D'après le théorème de Liouville (n" 2Go), une fonction qui possède cette propriété se réduit à une constante.

Une fonction elliptique qui ne se réduit pas à une constante a donc des pôles.

A%o. Dans un parallélogramme de périodes, la somme des résidus d'une fonction ellipticiue f{u) est nulle.

Remarquons d'abord que nous pouvons toujours prendre un parallélogramme de périodes ne contenant aucun pôle sur son contour, en efi'ectuant au besoin une translation. Soit ABCD un tel parallèle-

298 CHAPITRE VII. — FOltCTIOXS ELMITIQUES.

gramme {Jig. 4^^ -^I^ étant un vecteur é(nii[)ollpnl au vecteur 20), AD au vecteur lui.

Nous axons [lliéorèmc <l<'s résùhis, n" "274)

/ f( Il 1 (lu = ■> f'-r ^ 1^ ,

• AlfCIi" ^^

/ P> reprt'scnlanl la somme des résidus relatifs aux jkMcs de y" contenus dans ABCI). D'autre part, considérons dans l'intégrale les deux parties

f f(u)dii — f f(u)dii.

Posons. (|uand // décrit DC,

U = Ui -+- ■xio'.

Quand le |)oiul // décrit le côté DC, il i décrit A 15, et l'on a, à cause <le la périodicité de /,

/ f{ II) fùi = I f{iti)d/ti= I /'{u)du,

' ne «^ Alt • AH

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/ /{indu — / /(it)da = o.