AI! «^DC

On reconnaît de même que l'on a

/ /(u) du — / /( u ) du = o,

• Al) • ne d'où

/ /( u I du = o

• ABCIl

et. par suite,

ce qui démontre la proposition.

Il résulte de là qu'il ne peu l existe?^ de fonclion elliptique ayant dans un paT-allélogramme de périodes un pôle simple unique. En eftet, pour un pôle simple le résidu est difff'rent de zéro; d'ailleurs, le pôle étant unique, la somme ^R se réduirait à ce résidu et ne pourrait être nulle.

i96. Dans un parallélogramme de périodes relatif à la fane-

III. — THKOHKMI'S (JIInKHA l \ SIR I.I.S FONCTIONS KI.MI'TIOI'KS. 'f'MJ

tion J\u ). le non/b/r f/rs zrios de rcl Ir fniicli'nn rsl (''i^nl ait nornhir de ses fiâlcs, cIkkuh dru.r rhinl (ani/'lr <ivcc son ordre de iinillip licite.

Remarquons d almic] que les zéros sont en uoinhif lini, rnr cv soiil

les pôles (le -. qni est une fonction (•Ili[>tiqiio. Prenons ini paiiilh'-

logramnie de périodes \B(.D ne conlcnant ni jxMc ni /.l'ro sur son contour.

D'après le numéro nréciMlcnt, romiiie =^7 fst un»- lonrtioii rllii»-

licpie aux mômes périodes (]ue /, la somme de ses résidus dans le parallélot;rammc A1)(]D est nulle. D'autre part, cette somme est égale (n" 276, p. -i i à ^/> — a-i^I'A-iP *^"'^'^^ ^^' >i""il>''e des zéros de f dans le parall(''l()i;ramme ARCI), ^7 'f ncunfire de ses pôles. On a donc

On en déduit la consé<]iience >ui\;inlc :

Considérons la fonction /(?/) — C, C é-tant une constante. Elle a les mêmes pôles et les mêmes périodes que y. Donc elle a dans un parallélogramme de périodes un noniLie de zéros égal au nombre de pôles de /(«)• Donc une fonciion ellipli'que prend dans chaque parallélogramme de périodes toute valeur finie ou infinie le même nombre de fois. Pour appliquer ce théorème, on aura soin de prendre un parallélogramme sur le contour duquel fiu) ne prend pas la valeur C.

497. fUins un parallélogramme de périodes ndal if à une fonction ellif)ti(jue f[u)., la somme des zéros diffère de la somme des pôles d'une combinaison linéaire des périodes.

Considérons le parallélogramme de périodes ARCD, et prenons l'intégrale

^f}inj^du-f^ii^.iu.

duc /'«> ^'av f'"^

Posons, sur DC,

3oo CHAPITRE VII. — FONCTIONS KI.LI l'TIQt ES.

quand le point u parcourt DC, le point w, parcourt AB, et nous avons I -^7 — — du = I ( M, + ^.to ) •-— dux,

d'où, en mettant dans la seconde intégrale u au lieu de M|,

^V /(") .'ab /^") •\b/(")

et, de même,

/ —j-^-du— f ■ du = 9. o) / • du.

Pour évaluer / -.-, — r- du. par exemple, remarquons que, en A et B, .'ai, A") ' ' 11'

f • /(u) a la même^•aleu^; la fonction primitive de >> qui est une détermination de \^o^/(n), augmente, quand u va de A en B, d'un niul-

'—X-, — -du. En revenant à l'in-