ARC

f uf'iu) J . ,

I — - , . au =■ iiTzi irniù -h inu} ),

.'abcd /^")

m et n étant des nombres entiers.

Evaluons, d'autre part, cette intégrale, par application du théorème

des résidus. La fonction -—-, — — a pour points singuliers les zéros et

les pôles de /; en un point a qui est pôle ou zéro pour^, posons

f=(u — a)Acp(î<),

'-^(a) étant fini et différent de zéro; on en déduit

— étant régulière au point a. On déduit de là

uf ^uh Ci' ah , «p'

J u — a cp u — a cp

ce qui montre que a 'est pôle simple pour la fonction -y-> le résidu correspondant étant (di. En prenant le parallélogramme de pé-

m. — TlIKOUlilUES GÉMiHAi:X SLH LES FONCTIONS KI.MI'TIOLKS. 3ol

riodes ABCD de façon qu'il n(? contioniK; aiictin pôle ou zen» dey sur son contour, on voit que l'on a

/ — =^ du = iiTz 7 ah,

\ aA étant la soumie des zéros diniiiiiK-e de la soninie des pôles. I'>u comparant les deux valeurs obtenues pour 1 intéf^rale, on a

\^ ah := 'j. ni w -I- 2 « (o',

ce qui démontre le théorème. On dit encore que la somme des zéros est congrue à la somme des pôles (mod. ;^(o, :nxi').

498. Si deux fonctions elliptiques aux mêmes périodes ont les mêmes pôles et même partie principale pour chaque pôle, elles ne digèrent que par une constante.

Soient, en effet, f{u) et o{u) deux fonctions remplissant ces conditions, a un pôle d'ordre h pour ces deux fonctions. Ecrivons, en mettant en évidence les parties j)rincipales en ce point,

{il ~ ay^ ' (u — a j''-! ;/ — a

f{ii) = —— -^ . !__+.. ,+ J1±:L. +/,(«),

v(u) = r H i — r -4- . . . -+- H cpi ( a ),

^^ ' {a — a)'' {II — a}''-'- u — a ^' ^'

J\ et C5( étant deux fonctions régulières en a. On voit que / — 'j. qui est une fonction elliptique aux mêmes périodes que / et es, est régulière en a. Comme /' — 'v ne peut avoir d'autres pôles que ceux dey et de es, et qu'elle est régulière en chacun de ces points, y — es se réduit à une constante (n" 4-94).

499. Si deux fonctions ellip(i<jues aux mêmes périodes ont les mêmes pôles et les mêmes zéros avec le même ordre de multiplicité, leur rapport est constant.

En etlet, le rapport de ces deux fonctions a une valeur finie et différente de zéro en chaque zéro et en chaque pôle. Comme il ne peut avoir d'autres points singuliers que ces zéros ou ces pôles, il se réduit à une constante.

11 résulte de là (^u' une fonction elliptique est déterminée, à un facteur constant près, par ses pôles et ses zéros, chacun étant donné avec son ordre de multiplicité.

3o-2 CHAPITRK VII. — KO.NCTIO.NS ELLIPnyL liS.