IV. — si:rui> nie N()MHiu:s ciiMi'i.r.xics

monlc uidclimiiiciiL. La condiliou nices.saiic (M siiKi^aiilr pDiir (jui; cela soil est f|iie les séries de Icrines généraux a„ cl h„ soicnl convcrgenles.

Etant donnée une série de tonnes complexes, si la série des modules est convergente, la série donn<'e l'est aussi. En eHcl, soit «„ = a„H-<Y/,j le terme général de la si-rie donnée. On a

|a„|<:|»„|, \l>„\-\Un\.

Donc, si la sc-ric de terme génc'ral ] //„ ] est convergente, il en est de même des séries de termes généraux a i, el A„.

Une série de termes complexes dont la s(''rie des modules est convergente est dite absolument convergente. Pour une telle série, comme la somme S„ des n premiers termes a un module Inférieur ou égal à la souime des modules des n premiers termes, la somme de la série, qui est la limite de S,/, a un module inférieur ou égal à la somme de la série des modules.

Dans une série ahsolnment convergente, on peut déplacer les termes d une manière quelconc|ue, la nouvelle série ainsi obtenue est équivalente à la première. Ce déplacement revient en effet à opérer simultanément le déplacement des termes correspondants dans les deux séries de termes généraux a,i et bn- La somme de ces deux séries nétant pas changée, il en est de même de la série de terme général a„ H- ib„-

Il en résulte que Ton peut aussi dans une telle série grouper les termes dune manière quelconque, rex|)ression ayant le même sens (|ue pour les séries de ternies réels absolument convergentes.

*23i. Séries doubles. — Soit Un.p une quantité réelle ou complexe dépendant de deux indices qui peuvent prendre toutes les valeurs entières positives (certains systèmes de valeurs pouvant d'ailleurs (Hre exclus). Disposons ces quantités en un Tableau T :

On peut toujours ranger ces quantités en une suite infinie unique; on procédera par exemple de la façon suivante. On écrit d abord le terme i<i,i, pour lequel la somme des indices est égale à 2, puis les

termes 1(0,1, "1,2? pour lescjuels la somme des indices est égale à 3, puis les termes ^3^, «2,21 '^1,37 pour lesquels la somme des indices est égale à 4, et ainsi de suite. On obtient bien de cette manière tous les termes du Tableau une fois et une fois seulement.

S'il arrive que toutes les séries A obtenues en disposant les termes de ï en une suite unique sont convergentes et ont même somme S, nous dirons que T constitue une sé/'ie double convergente de somme S.

Considérons d'abord le cas où les m sont des nombres réels positifs. Formons les sommes obtenues en prenant dans T dune manière quelconque un nombre (lui de termes. Klles ont une borne supérieure S finie ou infinie. Toute série V obtenue en disposant les termes du Tableau T en une suite infinie unique est telle que la borne supérieure des sommes d'un nombre fini de termes de A est égale à S.

Si S esl Ji ni, A est convergente et a pour somme S, et, d'après la définition, T est une série double convergente de somme S.

D'autre part, considérons les lignes horizontales du Tableau T; soient a-, , 7^, ..., o-^, ... les sommes des séries constituées par ces lignes, chacun des nombres a- étant fini si la série correspondante est convergente, égal à -h a; si cette série est divergente. Soit S' la borne supérieure des nombres a-, + a-;, +...-{- o-^ pour toutes les valeurs

de/>. Je dis que l'on a

D'abord, quel (jue soit/>, on a

CTi -i- ao -H . . . -t- o-^j ^ S,

car les termes qui entrent dans les p premières lignes du Tableau T figurent dans la série A. Il en résulte que l'on a S'5S.

Donnons-nous maintenant un nombre positif B inférieur à S. Nous pouvons, dans la série A, prendre au commencement un nombre q de termes, suffisant pour que la somme de ces termes surpasse B. Si p est assez grand, ces q termes figurent dans la somme t, +7o -i-... + T^, et l'on a t, + 0-^4-. . .+ o-^ > B, d'où S'>B. Comme cela a lieu quel que soit B -< S, cela veut dire que l'on a

S'^S, d'où finalement

On voit donc que, quand S a une valeur finie, les lignes du Tableau forment des séries convergentes et les sommes de ces séries