IV. — l'HOPKIKTKS BKS FONCTIONS ?, 1^, J). Jo J

dériver celle série leniic ;'i tciiiu^; non-, nljUniniis aiii>i, en cliiiu^eiinl tous les signes

J) ;/ ;^ -f- j c, //- -I- j Cj // ' -" - r., U" -n . . . .

ce (l(''velo|)|)ein('iil (''hiiil v.ilahlc dans le cercle C. 1mi il<'Ti\,iiii ili.- nouveau, ou a successix enienl

pu = -h bCiU -h -io Ci lû -+- 4'^ C; tt» -t- . . . ,

Tout [jolynoiue par rapporl à pu el p'w est une fonction elliptique aux mêmes |)ériodes que pu el ne peut avoir d'autres points singuliers que ceux de pu. Nous allons chercher à former un polynôme en pu et p'w qui soit régu]i(;r en (). Ecri\ons

J>" = — ( I -t- 3c2a*-i- 5cjM'î-t-. . .;, y>' u = -(i — 3c2«* — lOfjjf'"— . . . ).

Nous sommes conduits à former p - u — 4j^ ' '^

p'*« 4P^" = -g [(1 iCiU* — lOC^W — . . .y^ — il-ir- SCiW -+- 3 c, M- — . . . j'J.

Les premiers termes de l'expression entre crochets sont de degié4 par rapport à a, et l'on reconnaît que l'on a

(ioc.

p'u— lip'u = ^ 1400,-+-. . ..

les termes qui suivent le terme i4t>Cj étant égaux au produit de upar une série entière en u. En comparant cette expression avec le développement de pu, nous sommes conduits, pour avoir une expression entière en w, à former

p''^ u — .\p'* u -t- 60 Co () n — 140C3.

Ce pulviioine en pu el pu est une fonction ellijuùjuc de u: dans C, il est égal au produit de u- par une série entière en u: il s'annule pour u = o. Nous pousons trou\er un parallélogramme de périodes avant pour centre l'origine et dans lequel il ne peut a\oir d'autre pôle cjue o. Comme ce j)oint n'est pas pôle, la fonction n"a

3o4 CHAPITRE VII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES.

aucun pôle el se réduil, p ir suite, à une coiistunLe. Goiinne au voisinage de l'origine le développement est applicable et que pour « =: o la fonction est nulle, il en résulte qu'elle est constamment nulle. pu satisfait donc à la relation suivante :

p''^u = 4p^« — 6oci pu — 140C3, ou, en posanl

-2= (>oc2= bo^ — » ^§■3= uoc, = 140^ — ,

(1) p'^u = .\p^u - g^2pu — i-i.

Les nombres ^2 ^^ §i sont dits les invariants de la fonction pu. 0O2. lin dérivant cette relation, on en déduit successivement

k p u ^^ yt p- u, — (2)

p U = lipu p U,

L'une quelconque des dérivées de pa s'exprime |donc au mojeii d un polynôme en pM et p' u.

On a obtenu (n" 501)

pu—-r,-i- y {in — i)CnU-"-^,

p" u = — -h 2, (2/1 — i)(2« — ■z){2n — 3)c,iU^"'

En portant CCS expressions dans la première relation (2), on obtient I identité en u

[()-+- \ (in — i){^fi — ■i)('2n — 3)c„«-" «=2,3,... J

= 6 ! -r- V {in — l)CnU'^"\— — uK L n = i,3,... J

En égalant les coefficients de u' et u'', on a des identités. En éga- «ant les coefficients de a-"(/i^4)? ^'^ •' ^'^^ égalité de la forme

(•2ft — l)(2/i — 2)(-2/l— 3)C„= 6[i(-2/i — IjC„-F aCîC„2-t- ^ Cj C,j 3 -f- . ..J,

a, t^, . . . étant numériques. Ou tire de là une formule de la forme

C„ = A Ca C„2 -I- B C3 Cn—3 -t- ^ C4 Cn-k 4- . . . ,

A, B, . . . étant des nombres variables avec n.

1\ . l'HOI'lUKTKS mes lONCTIONS S , \. J). '.(i"»

\insi clmqiir rocdiciciil i-„, \\ ywvùv de r,, s"c\|iilnir rw Iudi imn (le r^, ('3, . . ., Cn-i-

Il on résulte quo /o//.v ces co(\(ficiciHs s'cxpiiincnl en fmn linn i/r c-y et C;,, c'est-à-dire des invariants g^ ci g^. \a\ il.miio in iii<-. les sommes > -r- s'exi)riment en fonction (Je > — cl > — •

o03. IloniogcnritC. — Si {"on iiiiilti|)lic u). ut''r\'ii |i ir im larlcur •/.

on reconnaît que tous les facteurs de du restent in\ari;il»les, siiiif le

facteur u : du est donc muilipli»' par [j.; de même "tu est midiipli*' |);ir - .

y)u par — •

Hemarquons, d aulre |»ail, que gy-, g% sont, |)ar lappoil à oj, (o', liomogènes et de degrés respectifs — ,\^ — 6

501. Nous avons vu que p//. ainsi que ses dérivées, admet les |)ériodes aw, 2(0'. Eludions l'elVet de l'addition de-20) ou aw' à l'argument de X^u. Partons de la relation

En prenant les louclions |)rimili\cs des deux membres, iu)us a\ons

w( // 4- liM) — ^ « = COIlSl.,

doù. en faisant // = — (>),

!Ioj — !!( — w) = const.,

et. comme la fonction X^ est iiupaire. on voit que la constante est égale à '.îXw, de sorte que l'on a

et, 'de mcme,

( >n pose d ordinaire

d'où

(3) Ç(m -!- 20)) =[^K -f- ar,, ::(« -~ 2U)' ]= ^// -f- i r/.

En remontant à la fonction j, on déduit de là

3'(m -I- 2to ) = j » e'-l'^c.

3o6 CIIAPITKE VII. — FONCTIONS ELLIPTIQUES.

Pour dclerniiner la constante c, faisons it = — to ; nous avons

s'a) = - ( — w)e-*"'iwc,

et, comme d esl impaire,

On a ainsi les formules suivantes :

^ ( ^(w -H 210') =— cr;/ é'2';' «+w).

oOo. Les constantes rj, 7,' jouent un rôle inipoilanl clans les or mules précédentes. Il y a d'ailleurs une relation sinip e entre les quatre constantes to, d)', r,, r\' .

Considérons un parallélogran.nie de périodes AJiCD ne contenant sur son [contour aucun point singulier de la fonction {/ig. 4^)? et

prenons l'intégrale / "Cudu. Remarquons que le contour ABCD

»^AUCI>

ttl diie( l ou ncn sui\aiit les valcuis relatives de w et 10'. E\ahions

du 'i»c

r Indu— f Zu ^\b «^ i»C

Sur DC, posons

quand u parcourt UC. u, parcourt AB, et nous avons

/ ll^udu— I ^ ( «1 -f- 2W') 6^Ml.

ou, d après ce qui précède,

/ ^udu— I ^ »i rfwi -!- 2t/ / dui

"^bC «^ AB «-^AB

En remplaçant / du par sa valeur 211J, nous déduisons de là