IV. l'HontiiiiKs i»i;s i-dnctions -j , ^, j

d'où. |»iU' iiildilioii,

;i u du =

DuiiUe p;irl, ;'i I inlôrieiii- ilii |i;ii iilJt''lo';raninio do périodes, il n'y a qu'un pôle, qui est simple cl a poui- rc'sidii 1. [/inl<'}^ralc précédente est donc égale à + 2 « tt ou — 'lir. sui\aiil (jut- le contour est [)arcouru dans le sens direct ou non. On a donc la iclation

rw — r. 10 = ±: — ,

le signe qu'il laut j)rendre de\anl le second nicndue dépendant df la position relative des points 13 el D.

506. Clierclions maintenant à e^priuiti' les lonc tions elliptiques les plus générales en fonction de rf, C, p.

Expression cl une fonetion clUptique au nwj e/i de d. — Soit une fonction elliptique /'(w) ajanl pour périodes ato, 2to'. Considérons lin parallélogramme de ])ériodes ne contenant sur son contour aucun jiôle ni aucun zéro de f et contenant à son intérieur les zéros a,, a^f ..., a,i et les pôles ^i, h^, .... b„ (ces points étant distincts ou non). Nous avons montré (n" 197. p. h)!) que Ion a

«t -H </2-+-. . .-I- «„^ Z»! -(- A2-1-- .-!- '^« ( mod.2(», 210').

Remplaçons a,i par un nombre qui lui soit congru el tel que la •congTuence précédente se transforme en égalité. Cela posé, considérons la fonction

, , "i { Il — r/] I :ri // — a., ) . . . 3'i « — a „)

S^ ' " ) = zr, 7 — 3 r z ; — • •

-Un — U\ ) :j { Il - i>.i\. . ,j [ u — i),i)

Je dis que cette fonction admet la période 20J. En effet, si nous augmentons u de 20), d[u — <//) est multiplié (n° 504, p. 3o6) par — g2if)(«-aj+w)^ Je sorte que le numérateur est multiplié par ( — i^«e2T,(«u-i:a,+«w) ]3g même, le dénominateur est multiplié pai-

(— i)"e-^''""^-*<+'"^^ CommeV (r//=V ^^, cp(,/) est multiplié par 1,

et, par suite, admet la période 20). De même '^{u) admet la période 20)'. '.2 étant d'ailleurs méronior|die. est une fonction elli[)tiqii('.

jo8 CHAPITRK VU. — FONCTIONS ELLIPTIQUES.

Je dis que -j qui esl, par suite, aussi une fonction elliptique, n'a

|)as de pôles. En efiet, cette fonction ne peut avoir d'autres points singuliers que les zéros ou les pôles de f et cp. Or, en chacun de ces

points, c'est-à-dire en chaque point «,, a-j.. ..., o,i^ 6,, ..., bn^ - a une

f valeur finie et dift'crente de zéro. Donc '' se réduit à une constante A,

et l'on a, par suite,

/(»)= Acp(«).

Nous avons là une expression pour une fonction elliptique dont, on connaît les zéros et les pôles.

o07. Comme application, considérons pu — p<7, a n'étant pas congru à zéro, c'est-à-dire pa étant fini. Cette fonction est elli|)tique et a, dans un parallélogramme de péiiodes contenant l'origine, un pôle unique dorrlre i en O. Kllc a donc deux zéros dans un parallélogramme de périodes : ce sont, comme on le constate directement, «et — a. Ces deux zéros sont, en général, distincts; ils ne sont confondus que si l'on a

a = — a -f- 2 n? w -+- x n co'

OU

En mettant à part ces valeurs et appliquant le résultat précédent •> nous avons

. :f(it — ci) :f( Il ^ a ) p M — prt = A —-,

Pour déterminer A, multiplions les deux mcinlircs de cette n-hilion par u- et faisons tendre u vers zéro. Le j)remier membre tend \ers i y

tend vers i ; à la limite, on a

1 ^ A 3" ( — a) j a = — A ^ - « , d'où

(5) p« — pa =

D'ailleurs, les deux membres étant fonctions continues de a, l'égalité a encore lieu pour les valeurs r/:=/?îo3-|- nio' que nous a\ions. mises à part; la formule est clone générale.