IV. — 1'uoi'UIi;ti;s dks fo.nci ions -i , ^, ji. to

o08. l*ienons los clcrivt'-es log;»rillmii(jiu's dos «Icnx ineiiiLrcb de (5); nous ohtenoiis

et, en periniilnnl a et r/,

n'rt

d'où, en ajoiilant membre à membre et (li\isanl par 2,

"i pu — pa

En dc'-rivanl les deux membres de cette formule, nous obtenons

formule qui peut être considérée comme une formule d'addition pour la fonction pu.

En développant le second uiembre, il vient

I p"u(pu — prt) — p'«( p' ;/ — n'a ) p(u-^a) — pu= i ^ i — î ^

Permutons de nouveau u et a, et ajoutons membre à membi'e; il

vient

. I p" u — u" a I ( p' u — p' aV

2p(M-t-rt) — pu — pa = • 1 — — — •

ipu—^pa i^pu — paf

D'autre pari, d'après la relation (2) (n" oOl2), nous avons

p"u — p"a = 6p'^u — 6jV-« = G(pu — pa) (pu -hpa).

En portant cette valeur de p" u — ■ p"(i dans la relation précédente, nous avons finalement

(9) p(» + .)=-(^^^;^J-p«-pa;

c'est la formule classique d'addition de pu. En la dérivant, nous aurons une expression de p'{u-\-a) en fonction de pu^ p'u. En résumé, nous savons exprimer p{u -+- a), p'(u-\-a) en fonction rationnelle des valeurs de ces fonctions pour u et a.

3io ciiai'hhk vu. — fonctions elliptiques.

oOÇ). Expression d' une fonction elliptique au moyen de 'C et de ses dérivées. — D'après l'étude de J^, on a, a étant une valeur quelconque de M,

Ç(a — a) = -f- fonction régulière en a,

t'{u — a) = -+- fonction régulière en a,

( — I )" ~ ' ( 2 - I ) I !I^^-"(m — a) = 1- fonction régulière en a.

Cela posé, soit /(u) une fonction elliptique ayant pour pôles a,

b, ..., /, d'ordres de multiplicité resj)ectifs a, [îi, ..., ),.

Mettons en évidence la partie principale de /"en a; soit, au voisinage de a,

f(u) = - — — h. . .-I- 1- fonction régulière en a.

La fonction

/( a ) — Ta, Ci; " — a j — A2 C( " — « ) -+- • • • + ^~J^~'f'' r(*-"( " - « ) I

est, d'après la manière dont elle est formée, régulière en a. Formons des développemeats analogues pour chacun des autres pôles b,

c, ..., /, et prenons la fonction

<f(u)=fiu)- 2 ^\rju-a)~...-i- ' ^J^-;"!;(a-i)(„a)

La fonction '^ ne peut avoir d autres points singuliers que a, 6, ..., /; étant régulière en chacun de ces points, elle est donc partout régulière.

Je dis qu'elle admet la période ato. En effet, si nous augmentons u de 2C0, les fonctions î^', ^", . . ., Ç^*~'\ . . ., qui sont elliptiques et de période 2(o, ne changent pas; /(u), par hypothèse, ne change pas

non plus; "^(u — a) augmente de 27, , donc ^.\.|J^(m — a) augmente de 2/1 \ A,. Or^A, est nul, comme étant la somme des résidus

de /(a). .,^

En résumé, 'f{u) est une fonction elliptique de périodes ato, 2 0)',

IV. — puoi'iuKTics i)i:s FONCTIONS y, Ç, p. parloul réyiilirre. G csl donc une constante C, de sorir qii'dn n

Ceci nous donne une expi-ession de la fonction elUfdique f, connaissant ses pôles et les parties principales relatives à ces pôles.

oiO. Expression cV une fonction elliptifjue enfonction de pu^p'u. — Une fonction elliptique de périodes 2 w, 2 m' est fonction rationnelle des fonctions pu, pu construites avec ces deux périodes.

En effet, 'utilisons la dernière formule obtenue en remarquant que, dans le second membre, toutes les fonctions, sauf les fonctions 2^(« — a), sont, à des facteurs numériques près, éf^ales à p et ses dérivées, par conséquent s'expriment en fonction de p et p'. Comme d'autre part, en remjilaçant a jiar — a dans (^) (n" 0O8), on obtient

Ç(m — a) = rw— ^a-h - i ,

•x pu — pa

nous avons

^ Aj ^( « — a) := ^/( \ .\i -t- fonction rationnelle île p u

et [) n

^A) étant nul comme nous lavons vu, il ne reste, dans l'expression de f{u), que des fonctions rationnelles de p u, p' u.

511. Deux fonctions elliptiques de mêmes périodes sont liées par une relation algébrique. — Soient, en effet, /(m) et 'f (w) deux fonctions elliptiques de périodes aw, 20)'; considérons la fonction p a construite avec ces périodes; nous avons

/(«)]= R(ptt. p'«), ?(") ='Ri(P", p'")i

R et R, étant deux fonctions rationnelles. Joiii^nons à ces deux équations la relation

p'-'-u = 4p^« — gipu]— gi.

Si, entre ces trois relations nlj^ébriques, nous éliminons p et p' ^ nous obtiendrons une relation algébrique entre y et '^, ce qui établit le fait énoncé.

3l2 CHAPITKE VII. FONCTIONS KI.l.lPTIQl ICS.

olâ. Considérons la fonction pu. On reconnaît (|u'elle a. dans iiii {)aralléloj;ranime de périodes contenant l'origine à son intérieur, un seul pôle, à savoir : l'origine, qui est pôle triple; donc p' a a, dans un parallélogramme de périodes, trois zéros (n" 496). Je dis que ces trois zéros sont congrus respectlvenienl aux nombres to, to', oj -\- m . En effet, la relation

donne, en faisant // = — o),

d'où, comme p'to est (ini,

Le même raisonnement s applique à [co' et (o + w' ; deux quelconques de ces trois nombres ne sont pas congrus entre eux, car si Ton avait, par exemple,

tu' = 10 -f- 2 m nj — ■>. Il dj',

on en déduirait que le rapport —7 esl réel; ainsi ces trois zéros sont distincts.

Cela étant, si nous désignons par (^,, (?o, e-^ les racines du trinôme

nous avons, en \ertu de la relation fondamentale (i) (n" oOl. p. 3o/î), p"^u = 4(p;/ — e,)(ptt — eo )(p« — 63).

Chacun des trois nombres o), oj', w -h w', qui annulent jj'w, doit annuler l'un des trois facteurs du second mend^re. Donc j3to doit être égal à l'un des trois nombres e,, e^, ^3; de même pour pw' et p((o -t- w').

Ces trois nombres j3co, pw', pfw + to') sont distincts. |En effet, on a vu que l'équation p« = C a deux racines de somme nulle (n" 507) ; donc, pour que deux valeurs (de u donnent la même valeur à j3, il faut que leur somme ou leur différence soit une combinaison linéaire des périodes, ce qui n'a pas lieu pour les nombres w, w', w + co' considérés deux à deux. Donc les trois nombres e^, eo, e-i sont distincts;