V. — Cas des invariants réels

513. Nous allons maintenant particulariser celle «'hide l'n sap//osont le réseau des points s symétrique par rapport if l'axe Ox (par suite aussi symétrique j)ar rapport à Oy). Je dis que, dans ces conditions :

i" g2 et «"s sont réels, ainsi que tous les coefficients désignés par Ca, Cj, ... ;

2° rf, ^, p, jd', ... prennent pour deux xaleurs conjuguées de u des valeurs conjuguées, et en particulier prennent |)our // r(''»'l des valeurs réelles.

Nous distinguerons, dans le réseau, dune part les sommets situés sur O.r, d'autre part les sommets non situés sur 0./\ qui se groupent par couples de deux, deux points dun même couple étant symétriques

par rapport à Ox. Dans les sommes \^ — ' ^ "ïï' '"' distinguons

de même les termes qui se rapportent à ces deux sortes de points. Aux points situés' sur Ox correspondent des tenues réels. A deux points SMuétriques par rapport à Oj: correspondent deux termes

dont la somme est réelle. Donc les sommes ^ — ' ^ ~' •"*' 1'^^

suite les quantités «o- g^t c-ii c^i •••i sont réelles.

Démontrons maintenant la seconde propriété. Rappelons que les facteurs de a", les termes de X^. de p ou p' sont tous des expressions contenant l'argument u et une certaine valeur de s. Soient Uq. U\ deux valeurs imaginaires conjuguées de l'argument. A un facteur qui entre dans s'Mq et qui contient le nombre 5o, faisons correspondre

(') On ramène le polynôme considéré à la forme [{{x'^-^ px + q) en posant

p — —f-^1 q = — -p-^ 1 d'où résulte

',/>'+ 27 y- = - —\^l-2-,Sl).

3f4 CHVPITRK VII. — KONUTIONS ELLIPTIQUES.

dans itit le facteur qui contient le nombre 5,, conjugué de .«o. V chaque facteur de 3'Mo correspond ainsi un facteur et un seul de 3'm,, et deux, facteurs correspondants sont imaginaires conjugués.

De même, les jtermes de ^ii^ sont les imaginaires conjugués des termes de ^«o! '1 eri est de même encore pour pu, pu.

Donc du,, s"t? .P'^i5 ••• sont imagin lires conjugués de i Uo-i ^'^05 ,P«o, . • ••

51 i. Gherclions de quelle manière le réseau des points s peut être symétrique par rapport à Or. Soient s unsomm 't non situé sur Ox, .s' le symétrique par rapport à Ox. En complétant le parallélogramme sur Os et Os', nous obtenons un point qui fait partie du réseau et qui est situé sur Ojt. II y a donc des sommets du réseau situés sur Oa:.

Prenons le soinnicl situé'' sur G j: le plus rapproché de O; S(jit A

Fig

ifi.

yi

ce point {/ig. i6). Menons par A la parallèle] Aj^, à O^; deux cas sont possibles :

i"" Il n'y a pas, entre Oy et A^i, de sommet du réseau. Tous les sommets sont alors sur Oy, Aj^,, et des parallèles successives équidistantes. On a un réseau de rectangles {fig. 46)- Soit B le sommet le plus voisin de O situé sur Oy\ un parallélogramme de périodes sera le rectangle 0\GB construit sur 0\ et OB, et nous voyons que les périodes jiriniitwes OA et OB sont, V une réelle, l'autre imaginaire pure.

2" Il y a, entre Oy et A/, , des sommets du réseau. Soit A la parallèle à Oy équidistante de Oy et Ay, {fig. 47)- S'il y avait un sommet C du réseau entre Oy et A, on en déduirait, en construisant le parallélogramme sur OC, OG'(G' étant le symétrique de G par rapport à Ox^. un sommet D. situé sur Ox entre O et A, ce qui serait cou-

CAS DKS INVAIIIAMS IIKKI.S.

Iritirc au lait que A esl le soininet le pins lapprDclié «le (). [l'oiis |c, soinnicis (lu réseau situés entre Oy et Ajk, souI ddiic sur l.i dioili' A.

Soit B eelui de ees sommets (|ui est le plus ra|)proclié de O.r; soit^B' son symétrique. Le parallélogramme OBAB' est un losange; les périodes primitives OB, OB' sont deux nombres imaginaires coniugars.

Nous allons étudier les fonctions elliptiques parlicidières qu'on obtient dans ces deux cas.

olo. Supposons 0) réel et positif, w' imaginaire pur : soit

(1)' = iX,

X étant réel et positif. Soient A le point co, B le point o)'; considérons le rectangle OACB construit sur OA, OB {/ig' 48). Un

Fig. 48.

parallélogramme de périodes est le i-ectangle K ayant O p^ur ceiiiie. OA et OB comme demi-côtés.

Cherchons les valeurs de u qui 'rendent pu réel. A cause de la double périodicité de la fonction p, il suffit de chercher ces valeurs

3lt) CHAPIIIIE VII. — PONCTIONS lil.LIPTiy tlîS.

dans un parallélograinine de périodes, par exemple dans le rectangle R. La fonction pu étant paire, il suffit d'étudier cette fonction dans la moitié du rectangle R située à droite de Oy. Enfin, la fonction prenant des valeurs conjuguées pour deux valeurs conjuguées de II, on peut se contenter d'étudier pu dans le rectangle 0ACI3. Soient

u — a -+- bi. Uo= a — bi

deux valeurs conjuguées de l'argument: comme pu el pUt, sont conjuguées (n" S13), pour que pu soit réel, il faut et il suffit qu'on ait

pu ^ puo.

Or, nous avons vu que, pour (jue deux arguments donnent la même valeur à p. il faut et il suffit que leur somme ou leur difVérence soit égale à une combinaison linéaire des périodes. Nous devrons donc avoir

lin remplaçant u par a -r Oi^ /<„ P<'i' ^ — t'h ^'^' P^'' ^^^) 6t en prenant soit le signe +, soit le signe — , nous aurons les deux solutions

1° a = mui -+- nil,

n = o. ^/ = m oj ;

2" bi =: //J O) -r- /j/X,

d'où

m = o, b = nA.

La première solution a = nnù nous donne, dans le rectangle OACB, les côtés OB et AC. La seconde solution, b =: n\, nous donne les côtés OA et BC.

En résumé, dans le leclangle OACB, pu est réel pour tous les points du contour et pour eux seulement.

Dans le plan, pu est réel en tout point dont V abscisse est un multiple de to ou l'ordonnée un multiple de X, et pour ces points seulement.

ol6. Etudions la variation de pu sur le contour OAGBO. En A, C, B, nous avons pour valeurs respectives de pu les trois nombres pa>,