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))((.) -)- w'). ,pf'^'- <|"' •''*'"' t}j;iiii\ lians leur fiisLinhlf aux mniihi i--. /',, t'o. f»;! (n" 512). Posons

pw = ei, pfo) H- (o') = C.2, pa»'=f,,.

haiis le cas actuel, (^,, fo. e^ .sv)//^ /•e^'/.v e/ (lisiincis, «Ir xn-i»; (|ii 011 a

I) ailleurs, quaiKl p ;/ esl réel, ,p'//. dont If carii' est réel, iir |ifiil être <|iic réel ou iuiaglnaire pui\ Sur OA, pu est réel d u a. en dehors des poiuls O et A, ni piMr ni zéro. Donc, sur|0\. pu \arie

toujours dans le même sens. Il paît de -\- zc | |)ms(|ue la |)arli<^ jirincipale est — 1 et dccroit jusqu^à e^ lorsr/iir it varie de <> à oi.

En outre, comme p'- a = 4 J^' ^ — ^jP" — r 3 n'est pas nul sur OA, sauf en A, on \oit que e, rsl la [dus grande racine du pol) nonir '\X^ — g\x — g-i.

Posons x=.pu\ nous aurons, sui- OA,

dx = p' <i du =r — y/ 4 ^^ — »i ^ — >i du . du = —

dr

d'où, en intégrant entre les limites .r :^+ x, j" = e^

dr

.Vous exprimons; ainsi (o en fonction des invariants g-^. g.^. Pour étudier pu sur OB. |)osons

r allant de o à A (piand // décrit le e(')té ()!). Nou> de\ons étudier la fVnietion j>(/c) construite avec les périodes 2fo. io) , ce qu'on désigne par

Nous avons, daprès une remarrpie laite .^ur I liiimt>i;t''néité in'f>(>'ii.

p(n'|0J, OJ ) := -r^p (C -:, -j j

3i8 chapituh: vu. — fonctions ki.liptiques.

ou

pi ii' I M, co' ) = — P ( •' I ^s ' w ),

en remarquant que l'on peut changer l'ordre et le signe des périodes sans changer la fonction construite avec ces périodes.

Nous sommes ramenés à étudier la fonction p{v |)>, «w) quand ç va par \aleurs réelles de o à ).. Cest justement l'étude que nous \enons de faire. De plus, les in\ariants de cette nouvelle fonction p sont égaux (n" o()3) aux invariants de pu multipliés respectivement par /' et /'', c'est-à-dire à g-, et — ^3.

En appliquant le résultat obtenu, on voit que lorsque v va de o à À, jD(t'|)., iiû) décroît de H- 00 à la valeur p(A j)., iw), et cette valeur est la plus grande des 'racines du polynôme 4^^ — ^2^ + ^3- Or, ce polynôme est, au signe près, le transformé en — x du polynôme 4;r' — g^x — g3. Ses racines sont donc — e,, — 62-, — ^3, et — Cg, qui est égal à j3(). | A, fcj), est la plus grande de ces racines. Donc, 63 est la plus petite racine du polynôme 4x'* — g2^ — g3-

En résumé, quand u XKt de O en \i sur le coté ()B, fa fonction pu est réelle et varie de — ce à e-i, e, étant la plus petite racine du polynôme 4-2^' — gi^ — ^3. En C, pu prend la valeur 63, qui est la racine moyenne du polynôme.

Sur OB, p' u est imaginaire pur, car l'accroissement de la variable est imaginaire pur.

Par application de ce qui précède, on a

dx

Quant aux valeurs de pu sur AC et sur CB, elles sont également réelles; de plus, p' u est réel sur BC, imaginaire pur sur AC. D'ailleurs, p' u ne s'annule ni dans un cas ni dans l'autre, sauf au point C; donc pu varie toujours dans le même sens soit sur AC, soit sur CB. En résumé, quand un point u parcourt le co/î^om/' OACBO, pu est lécl et décroît de -\- ce à — oc, en passant par les valeurs e, en A, €2 en C, e-i en B.

En appliquant les deux principes de symétrie énoncés au début, on en déduit la valeur de la fonction pw en tout point où elle est réelle.

ol7. Supposons maintenant les deux périodes primitives ima-