IV. — si;nii:s i)K N()Mnni;s cn\ii'[,i;xr.s

lorinent oll('•^-rmMnos iiik" srne convt'rf;;(Mile (|iu a j)f)iic Nomriie S. Oïl peut aussi, an lion de faii-e la somme des lermes du Tahlfaii I' par lignes, la faire par colonnes. On ol)lienl encore des séries convergentes dont les sommes forment elles-mêmes une série convergente de somme S.

Si S est égal à -(- 00, on dit (juc les (juanlilés 11,1, /> foinieiil une série double divergente.

Etant donuf'-es deux séries doubles de termes gé'néraux/?o.v/V//!< ii„^pi i'n.p-, si Ton a i',i^p'£ a„^p, et si la série a est convergente, il en est de même de la série v. On le reconnaît en considérant la série ordinaire A. équivalente au Tableau.

Supposons maintenant les u réels et de signes quelconques. Posons

U,t,f,= (lln,f>-^ I "«,/; I) — I ^n.p I :

ff/i,P apparaît ainsi comme la diflérence de deux quantités dont chacune est positive ou nulle et égale au plus en module à 2 | //„,y, |. Si la série double formée par les quantités | u„^p \ est convergente, on peut former deux séries doubles T) et T^ dont les termes généraux respectifs sont les deux termes de la différence précédente et qui sont toutes deux convergentes. A toute somme d'un nombre fini ou infini de termes de T correspond dans T, et T-, une somme, et la première somme est la difi"érence des deux dernières. On en déduit qu'une série A olitenue en disposant les termes de T en une suite unicpie est convergente et a une somme toujours la même si 1 on dc'plaee les termes de A; c'est aussi la somme obtenue en elïeetuant d'abord dans le Tableau T la sommation par lignes par exemple, puis en eflectuant la somme de la série des nombres obtenus.

Enfin, si les quantités u sont des nombres complexes de la forme

et si la série double de terme général ! Un^p j est convergente, chacune des séries de terme général a„,p. b„^p est convergente. Soient P, Q leurs sommes. Toute série A obtenue en écrivant les lermes du Tableau en une suite unique a pour somme P -h /Q. On dira que la série u„^p est absolument convergente et a pour somme P -t- /Q-

232. MuUipUcation des séries. — Soient deux séries à termes réels ou complexes de lermes généraux w„, Vn.

Si ces deux séries sont convergentes et ont respecli\ ement pour sommes S et ï, on peut former une série convergente de somme S S,

en prenant la série ayant pour terme général

c'est-à-dire

Supposons maintenant que les deux séries données soient absolument convergentes. Considérons tous les produits tels que u„Vp, obtenus en multipliant un terme de la première par un terme de la seconde. Disposons ces quantités it,iVp en un Tableau (T) à double entrée :

"2 ^l, «2 »'2, Un Vu U„l>i,

l'ni'p,

Je dis que ce Tableau constitue une série double absolument convergente.

Considérons en ellet la série double T' des modules correspondante, c'est-à-dire le Tableau de terme général | ;/„ | | '> |- Prenons une somme d'un nombre fini (pielconque de termes du Tableau T', et soit g un nombre plus grand (jue les indices de lignes et de colonnes de ces termes. Ceux-ci sont compris dans le carré formé par les q premières lignes et les q premières colonnes. Or, la somme des termes de ce carré est

.+ l'Vl)-

Comme ce produit est inférieur à S'S', S' étant la somme de la série ! a,, |, S' la somme de la série | v„ |, il en résulte que, dans le Tableau T' des modules, la somme dun nombre fini de termes reste inférieure à un nombre déterminé. Donc la série double T' est con- ^ergente, et la série T, de terme général i{„Vp, est absolument convergente.

Cela posé, on peut faire la somme du Tableau T, soit par lignes, soit par colonnes, soit en disposant les termes d'une manière quelconque en une suite unique infinie. En particulier, on les dispose souvent de la façon suivante :

«l(-'l4- {Uii<.2-h UoÇi)

(UiV„^ U-2Vn-i

lini'l)

SKKIICS IHC l-ONCI roNS Itl ll.M.S Kl i:(»M l'I.KXKS. 2g