VI. - iwi.nsioN

acliicl ; eu elTfl, \c itnlviioinc iiv;nil alms un si^;!!»' <<)ii^laMt |pniii' les valeurs rt'-elles de c, si eo si^nc est — , I ri|ii;ii iim n Oi Mrilii'f jimir aucun syslènie de valeurs réelles, nous ne nous en (»((ii|p<i omn |i;is. Si le si^ne esl -f-, c'est (jue \e coeffieicnl >\r z' csl [xisilil. Par une lransli)niial um de hi loiMue

5 ^ Xi^i -t- iji.

A cl u. élanl rceU, on peut remplacer l'étjualion donnée par une autre de même forme, où le eoelfîeient de z'' sera i et où le coefficient de G'' sera nul. Nous sommes ramenés au prol)lème suivant. Etant donnée une relation de la forme

nous allons chercher pour :: et z' des fondions elliptiques fie 11 vérifiant cette relation, l^renons

(0 ^^^yu-v^a

■>. pu — pu

nous allons montrer que la fonction p et la constante a peuvent être déterminées de manière que celte fonction satisfasse à la relation précédente. Rappelons la formule générale d'addition [n" 0O8, formule (9), p. 309],

I / p' //. — p' a pu -^ pa -i- p(u-\- a) — ' '

ou. en tenant compte de (1),

pu H- Jlcf -r- j>( a H- a) = z'-.

Nous axons obtenu la formule [n" 508, (8 )]

pu — p(u^a)= - — - '- ^--

?. (lu \ pu — p a

ou, avec les notations actuelles,

(2) pu — p{u-^a) = z.

De (i) nous déduisons

, I pi' uipu — pa) — p u(p' u — p ft ) ^ ~ 1 {pu — paf

Remplaçons, en tenant compte de la valeur de z, p' h — p' a par •Az(pu — J3^^); il vient

, I p" Il 'iZ p' Il

d'où, d'a|)rès (2),

(3) pu — p{u-^a)= '■

Posons, pour la suite du calcul,

A = jj M — pa, B = p ( M -+- rt ) — j) rt .

Dans (3), permutons u et a; en remarquant que z ne change pas, nous obtenons

(4) pa — p{u + a)= .

■?.pu — p a

Nous pouvons écrire

A -;- B = pa -t- p a -h p ( « -1- a ) — ipa,

d'où, en tenant comj)te de la valeur de 5-,

A -f- B = c2— 3prt.

Calculons de même AB. En comparant avec la formule (4) mise sous forme entière, on reconnaît que l'on a

A . B = -( p" a — 'izp' a).

D'ailleurs, on a aussi, d'après (2),

z"^ — [pu — p{ii -f- a)]2=: ( A — B j-, ou

•s'- = ( A -1- B ;2 4 AB = {z^- — ipaf- — 2 ( j)" a — -izp' a).

Nous vojons ainsi que z'- est égal à un polynôme du quatrième degré en ::. Cette relation n'est autre qu'une équation différentielle à laquelle satisfait la fonction elliptique z, définie par la formule ( i). En développant, nous avons

z'- = z'* — 6paz--+- 4p' az -+- gp-a — 2p"a,

\l. — INVI-.IISIUN. 333

on. rn iein|)l;i(;iinl }>' ii par ')|)-rf — —,

Nous allons chercher une fonction elliptique pu et une coiislanlrr/ telles (pi il V ait identité entre les |)ol\ nomes

et

z* — 6p«^2( ^P'ct3 — ■^■p^a -r- gz.

Cela exige que 1 on ail

pa =~ À2, p' a = lj, — 3 j)2 a -h g. = À . .

Prenons comme inconnues les in\arianls ^25 ^ 3 ^^^ '** Ibnclion p cherchée. De la dernière relation on tire, en tenant compte de la première,

go = Xi -f- 3 p' a = A; -î- 3 X^ .

D'autre |jart, on a

p'^-a = 4jvî« — gipa — g3, d où

X^=-4Xi^X,(X4^3X2)- -3, o-3=x,X;-X|-X2.

go et o 3 ^®^'- ^ifisi déterminés; la constante a est déterminée par les deux relations

prt= — X2, p'a—'/,^

qui sont compatihles, car, en \ertu du calcul fait, on peut en (h'-duire

p'-^ a^ /ip-^a — gipa — g^ ;

par suite, elles déterminent un nomlire a à une combinaison linéaire des périodes près. En effet, dans un parallélogramme de périodes, la fonction pu prend deux fois la valeur déterminée — À2 pour deux valeurs différentes de u^ ces valeurs étant congrues à deux nombres opposés. Pour ces deux nombres opposés, p' u prend deux valeurs opposées et, par conséquent, dillerentes. L'une de ces valeurs sera égale à Aj ; la valeur correspondante de l'argument sera la constante cherchée a.

334 C11AP1TKI-: VII. — FONCTIONS KIJ.IPTIQLES.

La fonction pu et la constante a étant détei^minées, la fonction

i p' a — p a •1 |j a — jj a

est telle que l'on a

:: et -7^ =y/K(5) s'expriment tous deux en fonctions elli|)li((ues de //•

526. On appelle inlégrale elliptique une intégrale de la forme Ç V\x, \/V{x)\dx,

P étant un polvnome du troisième ou du (|ua[ricme degré n'ayant pas déracines multiples et Fune fonction ralionncUc. Nous supposerons, de plus, les coefficients et les variables réels. Posons

X = slV{x).

On peut (n"^ 0*22 à o2o) exprimer a: et X en fonctions rationnelles de ytu et ,[)'//< ,p'/ étant convenablement choisi. L'élément différentiel de l'intégrale prend alors la forme $( pw, p' /<)f///, $ étant rationnel. Posons alors

<I>, étant une fonction rationnelle par rapport à ; et à jk, peut se mettre sous la forme suivante :

Bo^- B, Y ^ ^lY-

Ao, A,, . . ., B„, B|, ... étant des polynômes en z. Remplaçons j'- par le polynôme 4 3^ — g-^z- — g-^ ; O prend la forme

G -4- Dr

Multiplions et divisons le second membre par G — Dy. Le dénominateur G- — D-j/"- s'exprime rationnellement en s ; la fraction se ramène à la forme

R + Sj-,

\if. — COI »i«i:s i»i-: (.i;mu: ////. 335

Il cl S élaiil r.ilioiuicls en ;. [/inL(-i;i-;ili' ;'i <alciilor est

/ Kl pu)<iu — / S( c )y'fn- Comme on a )'</// :^^ (/z, la seconde iiilt'i;iale s Ct rit

c'est une intégrale de fraction iMtiunnclIc (]ue 1 on sait évaluer.

En prenant u comme nou\ elle variable, nous sommes donc ramenés à évaluer l'intégrale

/ l\( p II) du^

où R est une fonction rationnelle de pu.

R (.p//) constitue une fonction elliptique aux mêmes périodes que pu. Appliquant à cette fonction la décomposition en une somme de fonctions s, 'Q-, • • • (n" o09, p. 3io), on a une formnle de la forme

c étant une constante et le signe ^ étant étendu aux dillérents pôles (7, 6, . . ., / de la fonction K. En intégrant, on déduit de là

I R( pu)du = cit — 2,\ ALogïf » — a)-i- Al ^( i< — a)-;- Ao^'C" — «)—... .

La théorie des fonctions elliptiques fournit ainsi Fexpression d'une inlég;rale elliptique.