VII. — Cotirbes de genre un
o27. Considt-rons la fonction elliptique pu. et posons <i) x:=pu. y = p'u.
Nous avons vu que x et r sont liés par la relation suivante : .(2) >'2 = 4a-3— o-j.r — ,^3.
En nous bornant au cas où g--, et gj sont réels, nous savons
336 CHAPITRE Vil. — l'ONCTlONS KLLIPÏIQL KS.
construire la courbe représentée par cette équation en coordonnées rectangulaires. C'est une cubique ayant pour axe de symétrie l'axe des X et pour direction asymptotique l'axe des y.
Si l'on a g\ — 2^03>>o, autpiel cas le polynôme a trois racines réelles, la courbe rencontre l'axe des x en trois points (Jig. oo).
fi s. 5o.
Si gl — 2'ji,'i]<; o, auquel cas le polynôme n'a plus qu'une racine réelle, la couibene rencontre l'axe des a; (|u'en un point réel (Jfg. 5i).
A une valeur de u correspond un point de la courbe. In\ersement, soit (xn.ya) un point de la courbe, c'est-à-dire un système de valeurs de X() et jKo satisfaisant à (2). Cherchons combien il y a de valeurs de u correspondant à ce point.
Etant donnée une valeur Xq attribuée à j:, il y a dans un parallélogramme de périodes deux points u pour lesquels pa^=Xo. Ces deux valeurs de u sont congrues à deux nombres opposés w,, et — Uq et donnent à y == p' u deux valeurs différentes, dont l'une seulement
vil. — counnKs dk (;i:nhi-; un. 337
est égale à la valeur rlioisie y^. Donc, à un systrnir de luilmrs (•^'oj.l'o) vérifiant (2) correspond, à une conihinaison lin (''(tire près (les pt'riodcs, une seule Vdieur de it . On («xprimc ce Hiil en disiiiil qu'/Y )• a correspondance entre le paramètre u et les points de la courbe.
528. Donnons quelques applications géométriques de la tliéoric des fonctions elliptiques.
Clierclions la condition pour que trois points de la cul»i(pie correspondant respectivement aux valeurs «,, Mo, «3 du paramètre soient en ligne droite. Cherclions l'intersection de la courbe avec la droite d'é({uation
ax -\- by -H c = o.
L'équation aux paramètres des points d'intersection est a^u -H b-p' «/ -t- c = o.
Le premier membre de cette équation est une fonction elliptique aux mêmes périodes que j3M,,p'« et n'a, dans un parallélogramme de périodes contenant l'origine, d'autre pcMe que l'origine, lequel est pôle d'ordre trois. Cette fonction elliptique a, par suite, trois zéros dans un parallélogramme de périodes. De plus, la somme des zéros est congrue à celle des pôles ; la somme des pôles étant nulle, si M,, Moj «3 sont les trois zéros, on a, m et n étant entiers,
Wi -f- Ui -+- U3 = -2. m oi -i- 7. n iji'.
Telle est la relation à laquelle satisfont les paramètres de trois points de la courbe situés en ligne droite. Je dis que cette condition qui est nécessaire est aussi suffisante, c'est-à-dire que, si elle est remplie pour trois paramètres, les trois points correspondants sont en ligne droite.
En effet, considérons la droite D qui joint les points de paramètres M), u-^; elle rencontre la cubique en un troisième point autre f|ue w,, Mo. Soit M3 le paramètre de ce point; nous avons
Ml -(- Mj-f- Kj ^ o.
En comparant celte relation avec celle qui existe par hypothèse entre «i, «2, '^3, on voit que m» et u'.^ sont congrus. Donc u^ et B. — II. 22
338 niAI'ITRE VII. — FONCTIONS EI.LIPTIQUKS.
ii'^ correspondent au même point de la courbe. La droite qui joint w,, //o passe par «3, ce que nous voulions démontrer.
Considérons sur la courbe un point de paramètre u ; la tangente à la courbe en ce j)oint la rencontre en un autre point de paramèlre r. En considérant cette tangente comme la position limite d'une sécante passant par a et par un second point voisin a, qui se rapproche indéfiniment de «, on voit qu'on doit a\oir
Cherchons à quelle condition u sera point d'inllexion pour la cubique; il faut que la tangente en ce point rencontre la courbe en trois points confondus avec le point de conlacl. 11 faut pour cela qu'on ait
d'oii la condition
On reconnaît que, pour a\oir tous les points d'intlexion, il suffît de donner à m et 11 trois valeurs entières consécutives, par exemple o, I, 2, et de prendre toutes les combinaisons de ces valeurs deux à deux. Ces combinaisons étant au nombre de neuf, il y a neuf points d'inflexion.
529. Considérons d'une façon générale une cubique ])lane. On démontre qu'une telle courbe ne peut avoir plus d'un point double sans se décomposer. Si elle a un point double, elle est unicursale. Nous mettrons à part ces cas, et nous étudierons les cubiques planes sans point double.
Étant donnée une telle courbe, plaçons l'origine en un point de la courbe ; son équation sera de la forme
03, Oo' '-2, étant des polynômes homogènes et de degrés respectifs 3, 2, I. Coupons la courbe par une droite passant par l'origine, d'équation jK =: t^- L'équation aux abscisses des points d'intersection autres que l'origine est
a72cp3(i, 0-4- ^792(1, 0 + ?i(i, 0 = Oi
