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o\ — /{'-^i '-2:1 f"^' "" jx'l vnomc (In iiiinl firme (lri;r(' en I . >(iil 1» ( / ). ( )ii sait, au moyen de la lliéonc des loni'lions ellipliijiics. i'\j)iiiiiir t et y/R(^) au moyen de fonelicuis elli|)li(|ues d'un inrinc paraiiirlic //. l\ous pom'ons donc exprimer les coordonnées d'un jxnnl île la courbe par des fonctions uniformes (V un paranu'he u.
o30. Courbes planes de genre un. — On dt'monlie, en (jéom(';liic analytique, que le nombre maximuiu de points doubles d'une courl)C
plane de degré /?, ([ui ne se décompose pas, est- Un
démontre en second lieu qu une courl)e de degré n qui a
[)oinls doubles est unicursale, c'est-à-dire f|ue les coordonn('-es d'un de ses points [leuvent s'exj)rimer en fonctions rationnelles d'un paramètre; la réciproque est vraie.
Etant donnée une courbe de degré ii qui ;i d points doubles, on appelle genre de cette courbe le nombre
de sorte que les courlies unicursales sont les courbes de genre zéro. Nous allons étudier les courbes de genre un. I^e nombre de leurs points doubles est
Soit C une telle courbe, ayant pour (-quation
Nous allons introduire des courbes auxiliaires d'ordre n — 2, que
nous appellerons des adjointes. Rappelons qu'une courbe d'ordre n
, , . , n(rt -+- 3"» ,. . ^• ' • 1 . 1
est déterminée par conditions linéaires, de sorte qu une
courbe d'ordre n — 2 est déterminée i)ar (« — 'i)( n. -h 0 ,^^- ., i ,,„
' points. Assu-
jellissous une adjointe à passer par les — — points doubles de C.
340 CHAPITKE VII. — FONCTIONS lîLMPTIQURS.
Il faut encore, pour la délerininer, un nombre de points égal à
{n — 2 ) ( /* H- I ) Il (a — 3 )
Si donc nous assujettissons cette adjointe à passer en outre par (n — 3) points simples choisis arbitrairement sur C, il restera dans son équation deux paramètres linéaires arbitraires. Elle sera de la
forme
A/i(^,7) -+- \^Mx,y)-\- Cf^{x,y) = o,
y,, f.y, fi étant des fonctions déterminées, A, B, G des paramètres arbitraires. On a ainsi un réseau de courbes adjointes.
Etudions l'intersection d'une courbe y de ce réseau avec C. Ces deux courbes étant d'ordres /i et n — 2, le nombre de leurs points d'intersection est, d'après le théorème de lîezout, ni^n — 3). Or, en chaque point double de C, il y a deux points de l'intersection confondus, d'où n{n — 3) points d'intersection fixes. De même, les n — 3 points simples de C par lesquels |)asse y donnent n — 3 points d'intersection fixes. Le nombre d'intersections qui restent, et qui sont les intersections variables, est
Ainsi, C et y ont trois points d' intersection variables. Cela étant, posons
A un point {x,y) correspond, moyennant ces formules, un point [x\y'). Quand le point {x,y) décrit C, le point [x' ,y') décrit une courbe C dont l'équation s'obtiendi'ait en éliminant x.,y entre les équations (i) et (2).
Inversement, je dis qu'à un point (^x',y') de G' correspond un point (x,y) de C et un seul, c'est-à-dire que, x\y' étant donnés, les équations (2) jointes à (i) n'ont en j?,jk qu'un seul système de solutions variable avec x\y' .
En effet, supposons qu'il existe deux points (a, ^), [a' , b') correspondant au même point (x'^y') et variant d'une façon continue avec x' y' ; on aura
j\ [a,b) ^ /i ( u\ b') ' f(rt,b)~ /i ( a', (>' ) '
