V. — Séries de fonctions réelles et complexes

!2I^3. Nous considf'rcroiis des s(''ri<'s doiil les Iciincs sonl loiiciidus, soit trime ou plusieurs \ iiiiiililes réelles, soit dune ou |ilu>iciirs \;iri;d)les complexes, ces fondions étant déllnies j)our les svsli'rues de valeurs des variables appartenant, sui\anL les cas, à un intervalle, à un domaine, à un domaine dans le plan des z, ou enlin à plusieurs domaines s'il s'agit de plusieurs variables complexes. Soit, dans tous les cas, E l'ensemble des systèmes de valeurs des variables.

Convergence normale. — Soit une série

"il "2» • • • ) "«1 • • • ,

dont les termes sont fonctions de certaines variables réelles ou complexes, déiinies pour un ensemble E.

Nous dirons que la série est nornialemenl conKergenle pour l'ensemble E si, y.„ étant la borne supérieure de \ u„ | da/is cet ensemble, la série nuDiéric/ue à termes positifs

est convergente.

Remarquons que Ton |)eut affumer qu il en est ainsi si Ton connaît une série numérique à termes positifs, convergente,

«1, a-i, . . . , a„, . . . , telle que l'on ait en tout point de E

Si une série satisfait à la condition de l'énoncé, elle est convergente pour tout système de valeurs de E. De plus, donnons-nous un nombre positif £. On peut trouver un entier p tel que, pour n >/?,

on ait

Dans ces conditions, le reste de la série donnée, arrêtée à son

^ième terme, c'est-à-dire la quantité R/, = «,,4.1 H- «,,+2 + est, en

tout point de E, au plus égale en module à s.

C'est à celte propriété qu'on donne le nom de convergence uniforme.

3o CHVPITKK IV. — FONCTIONS ANALYTIQUKS.