Une série convergente

est dite uniformément convergente pour un ensemble E si, quel que soit le nombre positif e, il y a un entier fj tel que, pour n >/?, et pour tout système de valeurs de l'ensemble E, on a

ce qui s'écrit, avec les notations usuelles,

Nous allons montrer quo/? pcul ramener le cas de la convergence uniforme au cas de la convergence normale. En effet, soit une série uniformément convergente. Donnons-nous une suite de nombres positifs décroissants et formant une série convergente

D'après l'hypothèse de la convergence uniforme, nous pouvons trouver un entier n^ tel que l'on ait

puis un entier /?) > n„ tel que

et d'une manière générale un entier ///>> /i/i tel que

I S„ — S I < a/+.i- Posons

on peut écrire, pour « = i , 2, . . .,

U/=(S„,-S) — (S„,.,— S), d'où résulte

I U/I^a,--;- a/-Hi < 2 3c,-.

D'autre part, U; est la somme d'un certain nombre de termes consécutifs de la série donnée. On peut donc, par un certain groupement de termes consécutifs de la série donnée, obtenir une série normalement convergente

Uo, U., ..., U,, ....

SF.nilCS l)K l'ONCTIONS IIKKM.KS IT COMI'I.KX KM.

Rn rlVcl, les t(>niics l , ;'i |);ulir(lii scioiiil, sont rcsprcliN ciikiiI |)Iii-i |irlil> en iiKxliile (iwc \vs Icrincs de l:i si-nc cooNrij^ciiU;

■l'Xi, ■?.y..i, ..., ■?.'x„ ....

23a. J (friables rrrllrs. — Une sérir dont les termes sont fonctions continues d/' une ou plusieurs variables réelles x, y, ... dans un domaine D, et qui est uniformément convergente dans ce domaine, a pour somme une fonction continue dans ce domaine.

Considérons, en cilel, une série renijDlis.sanl ces conditions :

Ui{x, y, ...) -h...-4-«„(a", jK, ...)-*-

Soit /(j, r, . . .) la somme de cette série. Donnons-notis un nombre positifs. On peut déteiniiuer un entier n tel cpie Ton ail

On a, en appelant S„ la somme des n. premiers termes de la série,

Or, S/, étant la somme d'un nombre fini de fonctions continues, est elle-même fonction continue. Soit (.Tq? J o? •••) im point du domaine D ; on peut trouver un nombre a tel que les conditions

\x — Xo\<'J., |j'— JKo|<a,

entraînent

I S„(.r, y, . ..) — S„{xo, JKo, •• •) I < ^■

D ailleurs, on a

|H„ï.r,j^, ...)|<£, \RJxo,yo, ...)\<^.

Cela posé, on peut écrire

/{x.y, ...j— /(.ro, jor •••)= Sn(x,y, ...) — Sn{3^o,yo, • • •)

-r- K„0, y, ...) — Rni^O, yo, ■..}.

Le second membre est plus petit en module que 3s, d'où

Comme t est arl)itraire, il en résulte que la fonction f(.x,y\ ...) est continue.

Une série de fonctions continues peut être convergente pour tous les points d'un certain domaine sans que la somme de cette série soit

3l CHAPITRK IV. — FONCTIONS AN \I.YTIQl ES.

une fonction continue dans ce domaine. Prenons, par exemple, la série

Supposons que x soit positif. Nous avons une progression géométrique de raison dont la somme est

^ i-h ce

Cette somme (i -\- x) tend vers i quand v tend vers zéro. Mais, si l'on fait a: = o dans la série proposée, on voit que tous ses termes sont nuls; donc sa somme est nulle. Si donc on donne à x des valeurs positives tendant vers zéro, la somme de la série tend vers i et non pas vers sa valeur pour x ^ o.

23(5. Drrival/on . — Considérons une série dont les termes sont des fonctions d'une variable réelle .r avant des dérivées, et qui est convergente pour toutes les valeurs d un intervalle. Soit

cette série. Je dis que, si la svric des dérivées

est normalement corner ne nie f/ans l' intervalle, elle représente la dérivée de la série donnée.

D'après l'hypothèse, il y a une série numérique convergente a,, ao, ...,a«, ... telle que l'on a

Donnons-nous un nombre positif s, et prenons un entier n tel que 1 on ait

a„-Hi-,-a,;4-2-H. . .< £.

Soient /"(.r) la somme de la série donnée, '-5(r) la somme de la série des dérivées. Si l'on désigne par S,^ la somme des n premiers termes de la série donnée, la somme des n premiers termes de la série des dérivées est S^^, de sorte qu'en désignant par x et x -\- h deux