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ii,( a- -t- // ) — it,( :r )

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D aprrs la fonmilc des accroissemciils liiiis, on a

— '- = it',{.r -+- 0 A ) ( o < 0 < I ).

Donc le ternie relatif" à Tinclice /. sous le signe 1' est |)liis petit en module (|ue 2 a,. La somme des Icrnies sous le signe S est inlerieure en module à

et. par suite, luféiieuie à :>.î.

Cela posé, si nous faisons tendre h vers zéro, la première différence du second meudjre de ( i) tend vers zéro. Donc, cjuand \ /i \ est mféiieur à un certain uoiuhre, le second membre, et par suite le premier, est plus petit en module que 3î. Gomme î est arbitraire, .cela veut dire que, quand h tend vers zéro, le premier membre tend vers zéro. Donc f {x) est continue et a pour dérivée 'j(-^).

Ce résultat s'étend au cas où Ion suppose seulement que la série («') des dérivées est uniformément convergente. En elfet, opérons dans celte série un groupement de termes consécutifs de façon à obtenir une série (U') normalement con\ergeute. En groupant de la même manière les termes de la série donnée, on obtient une série (U) telle que chaque terme de la série (U') est la dérivée du terme correspondant de la série (U). En appliquant aux nou\elles^ séries le théorème précédent, on voit que '^. somme de la série des^ dérivé(\s. est la dérivée de /*.