I. — NOMIIUKS COMIM.KXK

lin nombre c -h di et un seul vérifianL la condition r('({tiise : c'est le quotient de z piir z' .

Si ; csl (lillViciii (Ir céro et ;;' nul, il n'y a pas de nombre complexe qui, mulli|)li<'' par z\ reproduise z.

En efi'ecluant mit- des nombres complexes les quatre opérations arilliméh(]ues, ou oldicul (]e.s //actions /v/fio/inelles.

l208. On aj)pell(' module d'un nombre comj)lexe z =^ a -{- bi la quantité positive ou nulle p = y/a-+^-. On reconnaît que, pour qu'un nombre complexe soit nul, il faut et il suffit que son module soit nul. Nous désii;ner()ns par | 3 | le modide de :;.

On démontre que :

i" Le module de la somme algébrique de plusieurs nombres complexes est inférieur ou égal à la somme des modules.

2° Le module de la difïerence de deux nombres complexes est supérieur ou égal à la différence des modules.

3" Le module d un |)roduit est égal au produit des modules.

4° Le module d un quotient est égal au quotient du module du dividende par le module du diviseur.^

D'après la Trigonométrie, on sait qu'étant donnés deux nombres a et 6, il y a un angle ,:;, déterminé à un multiple de 27û près, tel que l'on a

a = ^a-^ h'-coi-s, b = \J a'- ^ ô-sincp.

L'angle o ainsi déterminé est dit X argument du nombre complexe a -h bi.

Le produit de plusieurs nombres complexes a pour argument la somme des arguments des différents facteurs.

209. On représente géométriquement les nombres complexes en considérant dans le plan deux axes de coordonnées rectangulaires, 0:c, Oy. Au nombre a-^bi on fait correspondre le point .M dabscisse a et d'ordonnée b.

Le module du nombre a-\-bi a pour valeur la longueur OM, et son argument est l'angle, défini à un multiple de 2- près, de OM avec Ox.

210. A'oiion de limite. — Un nombre complexe z,i = ci,i+ ib,i, variable avec l'entier /z, a pour limite z = a -\- ib si l'on a simultanément Uina,i = a, lim 6„ = 6.

Cela revient à dire que le module de la difTérence (z,i~z) doit tendre vers zéro.

En effet, on a

d'où

\z„-z\ = s/{an — a)^^{b„—byK

Pour que | ;;,/ — ^| tende vers zéro, il faut el il siiKil que (a„ — a) et {b,i — b) tendent vers zéro.

Le théorème de Cauchy sur les limites (t. I, n" 22, p. i5) s'applique aux nombres complexes et s'énonce ainsi : La condition nécessaire el suffisante pour qu'une suite de nombres complexes z-i, z^^ ..., z,,, ••• ait une limite est (jii'à tout nombre positif z corresponde un entier p tel que les conditions [a>/>, V >/) entraînent | ?,j, — z., \ << s.

En ed'et, en posant z„^= a„-[- ibn, la condition \z^ — :;v | < s s'écrit

I ( «jj, — «v ) -+- i ( ^H — ^v ) I < £•

Cette condition, supposée remplie, entraîne

(l) |«a— «v|<ï, |<^iA— ^v|<£-

Donc a,t et bn tendent vers des limites a cl b; par conséquent, z„ tend vers a -+- bi.

Réciproquement, si z„ a une limite a -\- bi^ on a

lime?,; — a, Wmbii — b.

Quand u. et v dépassent une certaine valeur, les conditions (i) sont vérifiées; il en résulte

ce qui montre que la condition du lliéoréme de Cauchy est vérifiée.