Intégration. — Soit une série

f(T)=^Ui{x)^a,(x)-^...

uniformément convergente dans un intervalle (a, b) et dont les termes sont fonctions continues d une \ariable r dans cet intervalle. Je dis qu'on peut l'intégrer terme à terme.

En elfet, donni)ns-nous un nombre positif t. On peut dt'terminrr un entier p tel qu'en posant/f-r ) =z a^ -t- u^-i-- • ■-— n,, -r K,^, on ait^ li. - II. 3

34 CIIAPITRK IV. — FONCTIONS ANALYTIQtKS.

pour n >■ /'.

On a, en intégrant de a k b les deux membres de Téqualion précédente,

/ /(x)dx= I Uidx^ I u-2 dx ->-. . .-^- I u,idx-\- j H„ rfar.

La dernière intégrale du second mcnd)re est plus j)etite en module que t{h — a). Si donc on failcroîlre /? indéfiniment, elle tend vers zéro.

Donc la série de terme général / m„ dx est convergente et a pour somme linlégralc / J\x)dx.

On démontrerait de même qu'on peut prendre terme à terme l'intégrale double ou l'intégrale triple d'une série uniformément convergente de fonctions de deux ou trois variables réelles dans un domaine donné.

238. Séries de fonctions de variables complexes. — Considérons une série

«1, «2j • • •) "re> ■ ■ • >

dont les termes sont fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes z, z', s", . . . quand ces variables sont respectivement à l' intérieur de domaines A, A', A", ...de leurs plans. Supposons, en outre, que cette série soit norn^alement convergente. Je dis que sa somme S?/,< représente une fonction liolomorphe des variables complexes z, ^', s", . . . pour tout système de valeurs de ces variables intérieures respectivement aux domaines A, A', A", ...et qu'on obtient les dérivées de celte fonction en dérivant terme à terme la série donnée.

Donnons-nous un nombre positif /• et considérons la région A du plan des z. Désignons par A, l'ensemble des points de cette région dont la distance à un point quelconque de la frontière G de la région A est plus grande que /•, de telle sorte qu'un cercle y de rajon /■, ayant pour centre un tel point, est tout entier intérieur à A, Remarquons que si l'on choisit à l'avance un point intérieur à A, en prenant le nombre ;■ suffisamment petit, on obtiendra une région A, contenant ce point.