V. — SKRIKS ntC FONCTIONS HKKI.I.KS P.T rOMPI.F.XKS

Soient de même A',, A". .. . les enscmMes de points des régions \', A", . . . jouissiiMl (le l;i iiK'iiH' propriété relativement à ces régions.

Considérons un système de valeurs f/, a\ n" , ... altrihuées à s, z', z" , ..., appartenant res|)eclivement à \,, A',, A'j, .... I^e eerele v de centre a et de rayon /• étant tout entier dans la région A, nous avons (n" S'a?, p. 2'i)

à Un

àa

a, a , a . . . .) = — :— / (Iz

D'après l'hypothèse, a„ désignant la horne supérieure de | u„ |, la série de terme général a„ est convergente. D'autre part, sur le cercle y, on a | c — « | = /•, d'où

Uniz, a', a", . . .) I ^ «n

et, par suite, la longueur de v étant 2-/-,

u„( z, a', n", . . .) dz

On a donc

(z — ay-

du„( a^ a . rt",

arr = 27:

ôa

On a de même

I ùii„i a . a, a",

ôaJ

diiaia^ a . a" .

Oa

Séparons les parties réelles et les coefficients de i en posant a = X -^ iy, a ^= x' -\- iy\ .... m„ = P„ -i- « Q„.

On a alors

âa ôx dx 6y dy

Par conséquent, les dérivées par rapport à x, y., x'., y' , . . . des

fonctions P„ et (),, sont au plus égales en module à '' •

D'autre part, comme | P„ j fi y.„. [ Q„ | ^ y.„, les séries de fonctions de variables réelles SP„, SQ„ sont normalement con\ ergentes, donc représentent des fonctions continues; posons

Considérons les séries

^ âx ' Zd Or ' ' ' ' ' ces dernières séries, ayant leurs lernies au plus éinaux en module à ceux de la série convergente 2^~''' ^'^^^^ norinalemcnt convergentes.

Elles représentent donc des fonctions continues ipii sont les dérivées des séries SP„. -Q„. On a, par exemple.

^ = y 'Zi!i' ,

OX ^mà dx

dO ^ 6*Q„ ôx ~^ ^ ôx

De plus, des relations d liolouiorpliie

dx Oy dy ôx

on déduit les mêmes relations |)Ouiles séries correspondantes ^ Ox ^ ^ Or ' ^ dy " ^ dx '

Donc P et O, en tant (|ue lonctions de x, y. satisfont aux conditions d'iiolomorphie, et la déri\ée de P -f- i() = ^H/, par rapport à a est

dP

dx

•^ — y îiE^ u -y ^^ — "V '^""

Ox Jmà dx Zd dx ^^ Oa

En résumé, ^u„ est une fonction liolonioiplie des variables complexes rt, «', a'\ ..., et sa dérivcc par rapport à chacune des variables s'obtient en dérivant ternie à terme la. série donnée, le résultat étant établi pour tout système de valeurs a, a', a", ... tel que a soit intérieur à la région A, a' intérieur à la région A\ a" intérieur à la région A", etc.

La série > — ? en vertu de ce ciue 1 on a -t— <" — > est norma-

.^J Oa . ^ I da /•

lement convergente dans le système de régions A,, A, , A",

Je dis qu'e/? tout point intérieur à A, A', A", .... Ut dérivation terme à terme de la série donnée peut s^ effectuer indéfiniment.. Admettons-le pour toutes les dérivées jusqu'à l'ordre n; admettons aussi que les séries des dérivées d'ordre n sont normalement convergentes dans un système de régions A,, A',, A,, .... Dans ces conditions, cliacjue série des dérivées d'ordre n peut être traitée comme la série -^/«. Donc toute dérivée d'ordre [n -\- i) s'obtiendra en déri-

V. — <5i:nii;s i)i: ionctions iii:i;i.i-ks i;t f.()Mi'i,i:\i:s. \y

vnul Icrnic ;"i Iciiiir iiiic des .sctIcs (lfri\(''<'s d'ordic n . le n''siill;il <'l;inl valal)le pour Loiil système de valeurs «, a', a'\ ...intérieures à A,, A,, A',, .... De plus, les séries obtenues sont normalement convergentes dans un système Ao, A',, A'Jj, .. . situé par rapport à .\,, A',, A^, ... (M)iunie ce dernier est siuu' |>;u' rapporta A, A', A", .... Le procéilé de récurrence s'appiicpie donc.

Enfin, si l'on clioisit à l'avance un poinl intérieur à A, A', A", . . ., on peut laire en sorte que ce poml soit intiM'icur à Ao, A!,, A'.',, ...; cela achève d'établir la proposition.

Une série uniforme ment convergente de fonctions Itolomorphes de 5, c', ... représente une fonction holomorphe, puisqu'elle peut, par groupement de termes, se transformer en une série normalement convergente.

!239. Intégration. — Soit une série

f{z) = Ui-t- Uo

dont les termes sont fonctions liolomorplies d'une variable complexe z dans un domaine A et qui est uniformément convergente dans ce domaine. f{z) est, d'après ce qui précède, fonction holomorphe. Prenons à l'intérieur de A un chemin L allantd Un point;:,, à un |)oint z. Considérons les intégrales le long de L des fonctions w,, u-,, . . ., u,i

et f. Etant donné un nombre positif e, il y a un entier/? tel que l'on a, pour /i>>/?, en désignant par R„ le reste de la série arrêtée au

terme.

et cela en tout point du domaine A. Nous pouvons écrire dans ces conditions, comme R,, est holomorphe.

/ f{z)dz= I nidz-^...-h I Undz-^ j Rn On a d'ailleurs

dz.

f l\ndz

< £ loiiiïuenr «le l'arc L,

de sorte que, si n croît indéfiniment, cette intégrale tend vers zéro; la difïerence entre le premier membre de l'équation précédente et la somme des n premiers termes du second tend vers zéro. Par consé-

quenl, la série dont le terme général est / u„ dz est convergente et

a pour somme l'inlégrale / f(^z)dz. Cela re\ienl à dire qu'on peut

intégrer terme à terme la série donnée. Nous constatons, en outre^ que la série des intégrales est elle-même uniformément convergente, et que, si la série donnée est normalement convergente, il en est de même de la série des intégrales.