VI. — Séries entières à une variable

240. On appelle série entière par rapport à ;; une série de la forme

(i) «0+ «15 H- ao^^-f-. ••— rt„5"-+-. . .,

les constantes a et la variable :; étant des nombres complexes. Posons a\^= \a,i |. Considérons la série auxiliaire à termes positifs

où p recevra des valeurs positives ou nulles.

Si la série (2) converge pour une valeur attribuée à 0, elle converge pour toute valeur inférieure à celle-là. 60/^ Ro la borne supérieure des nombres p tels que la série (2) soit convergente ; Rq peut être nul, égal à un nombre fini positif, ou à +co; la série (2) est convergente si o<^Ro, divergente si 0 ^ R^ ; désignons par Co le cercle de centre O et de rayon R^ (dans le cas de Rq fini).

Je dis que la série (i) diverge en tout point z extérieur à Cq. Supposons en effet pour un instant que la série (1) soit convergente pour une valeur z de module R, >> Rq, alors le module du terme général de (1), soit 6f)^R'^, tend vers o quand n croit indéfiniment; donc les nombres a„V\" sont, quel que soit /«, inférieurs à un nombre fini A.

Prenons Ro tel que Ro <C Ro <! Ri ; on a

Donc la série de terme général a',^V\", a ses termes au plus égaux à

(W ^ ri ^ \ 5 qui est une progression