VI. — SKHIKS KNTIKIIKS A t'NK VARIAIM.K

géoinéliKiuc (l(''('iniss:mi(' : donc hi si'iie ('>,) converge pour ]r nombre \{, supérieur à !{„. conliMii-euieiil ;i l;i (Ifrinilion de l»„; l;i proposition est dénionlrée.

Soll inainlenant (dans le cas de l^,)I>t') ^ ""^ cerele (Je centre O et de rajon Pi^Bo; la série de terme général «„R" est convergente; quand le point z est dans G, on a | c 1 1^ R, d'où | a „ z" \ ":! a]^h." , la série (i) est donc normalement convergente dans G; d'ailleurs, chaque terme de (i) est f'oncliou liolomorphe de c, donc ( n" 238) la série (\) représente une foacMion /"(s) liolomorphe en tout point intérieur à G, les dérivées s'ohtenant en dérivant terme à terme la série (i). Gomme on peul prendre 1\ aussi voisin (pToii veut dc'Ro, le résultat est valable pour tout point intérieur à Go, et l'on a l'énoncé suivant :

La série (i), dans tout l'intérieur de Go, est convergente et représente une fonction f[z) holomorphe de z dont les dérivées s'obtiennent en dérivant (i) terme à terme. Elle diverge en tout point extérieur à Go-

Le cercle Go est dit cercle de convergence de la série entière (i), Ro est le rayon de convergence. Pour les points du cercle de convergence, il y a doute en ce qui concerne la convergence de la série.

Quand Ro = -|-30. la fonction f{z} est holomorplie dans tout le plan.

Quand Ro=^ o, la série (i) n'est con\ergente que j)our z = o.

On peut intégrer la série (i) terme à terme dans Gq. Soit en effet z un point intérieur à Go; intégrons le lerme général a,iZ" le long du rayon O:; -, on a

;« dz = —

La série (i) est normalement convergente dans tout cercle intérieur à Go; on peut l'intégrer terme à terme le long de O- (n° 239); cela montre que la série

est convergente en tout point intérieur à Gq, el représente une lonction primitive (\ef{z).

24L 11 résulte de ce qui précède que, si la série (i) admet pour

4o CHAPITRE IV. — FONCTIONS ANALYTIQUES.

rayon de convergence Ro, la série dérivée, savoir

a aussi pour i*ayon de convergence Ro- En eflet, son rayon de convergence est au moins égal à Rq ; mais il ne peut lui être supérieur, car, en revenant à la première série par intégration de la seconde, on trouverait pour cette première série un rayon de convergence supérieur à Ro.

D'une manière générale, une série entière et toutes ses séries dérivées ou intégrales ont même rayon de convergence.

EtanI donnée la série entière (i), je dis que son rayon de convergence est (-gai à la plus petite limite de la suite

en convenant de remplacer dans celte suite pai- + ce un terme correspondant à un coeflicient nul.

Soit en effet R la plus petite limite de cette suite. Supposons d'abord R fini et positif. Etant donné un nombre a <! R, prenons A tel que p < A < R.

D'après une [)ropriété de la plus petite limite, à partir d'un certain rang dans la suite (3), on a

par suite

— = > l ou a'„ < -^ , va,, '■

h est plus petit que i, donc'les termes de (2) sont plus |)etils que les

termes d'une progression géométrique décroissante. Par suite, la série (2) est convergente pour 0 -< R.

Si, au contraire, nous nous donnons un nombre p > R, on peut, quel que soit l'entier /?, trouver n >/> tel que

j^-= < p ou «'„ p" > I .

11 y a donc, dans la suite (2), et cela indéfiniment, des termes plus grands que i . Donc la série (2) est divergente pour p >> R.

Par conséquent, la plus petite limite R de la suite (2) est égale au rayon de convergence de la série (i).

si;nii;s i: nui; mes a im: \\iii\iti.i

Si R est nul. du ;i|i|)I|([(|(' -<(iilciiiriil hi ><'((tii(lr pititif (lit l'.iisdnncmeiit. S'il est égal à + ce. du ;i|i|)Ii(|ii(' I;i prcmicie piiilic

2-42. Nous a\oiis \ii (|n une sc'-rie cnlirie |)enl on un pDint du cercle de convergence être convergente ou non. Je dis f|iie, si /a sr/ir est convergente pour un point z^^ du cercle, et si un point z se flrplace sur le rayon Ozq en restant à V intérieur du cercle et en tendant vers z^^^ on a

\\mf{z)=f{Za),

c'est-à-dire qu'^Y y a continuité le lona du rayon. Pour établir cette propriété, nous allons d abord établir le lenime sui\ant :

Lemmk n'AcKL. — Soient a^, a,, . . ., a^, . . . des quantités réelles ou complexes, en nombre fini ou infini, telles que toutes les

sommes

sont inférieures en module à un nombre A. Soient d' autre part

des nombres positifs décroissants £(,, S), .... tp Je dis que

Von a

(4) I Soao— îi2:i — • • -—^p-J-p I < îoA.

En efl'et, nous avons

^0 ^^^ ^Oi . ^I =^ -^I Jç>i • • • 1 "^p ^^ ^ p — ^ p—\ 1 • • • )

doù

£o^O~i~ -1 ^I "^ • ■ •"*" -/^ ^Z' = ^0 Sii-^- îl( S] — So) -H. . .-r- £/)( S/, — Sy,i)

= So(îo ^l) -r- Si (El — 12) ~î~' • •

Par hypothèse, toutes les dillerences Sq — -i < -1 — -2? • • -^ -/)-< — */> sont positives; elles sont multipliées par des nombres So, S(, ..., S^i, Sp inférieurs en module à A; on a donc

I Eo^o-t- Si^'i-r--..-!- '-p^p i < A Ceo— îi-^ £1 — ^î-t-- • --i- ïp)= Ae„.

L'inégalité (4) est donc établie.

Cela étant, revenons à la série entière

Formons /'(:;o) et ./( >*>^o )•. >*- élant un nombre positif plus petit que I. que nous ferons tendre vers i. Dans ces conditions, t-z^ re-

42 CHAPITIŒ IV. — FONCTIONS ANALYTIQI lîS.

présente bien un point variable tendant vers z-o sur le rajon O^^o et restant à l'intérieur du cerele de convergence. On a

(6) /(>^2ol = rtc-4- a,X-3oH-. • .-t- «„À"So -+-

La première série étant convergente, à tout nombre positif e on peut faire correspondre un entier p tel que, pour n >/>, le reste R,, de cette série soit plus petit en module que t. Par suite, h étant un entier positif quelconque, on a, si n >/?,

Ceci s'écrit

Appliquons le lemme précédent en remplaçant les quantités ag, a,, . . . , y.p par

,- -«+1 ^ ^'1 + 2 ri , -n+k

et les quantités £o' ^i ' • • • •> -p P^r

) «-Hl / « +-2 > «-t-/j .

on a, par application du lemme, la quantité désignée par A étant ici 2£,

Laissons Ai fixe etjfaisons croître h. Le premier membre de cette inégalité a une limite qui est le reste R,j de la seconde série (6), Cette limite est donc au plus égale à 2c. Ecrivons alors, en posant /= S„+ R«,

f{lzo)~f{zo)= S„(Xso) — S„(Zo)^-R„(Xzo)- R„(5o).

On a, quel que soit n >>/? et quel que soit A,

|R«(-o)|<-, |R„(Xi;oj| <2£.

La différence SnO^^-o) — S„(:;o) est un polynôme en X qui tend vers o quand À tend vers i. Donc |/(A2n) — /(-o > | peut être rendu inférieur à 4^5 en prenant ), assez voisin de i. Comme e est arbitraire, cela montre que/(A.3o) tend vers/(.3o) quand À tend vers i, ce qui établit la proposition.

243. Séries entières réelles. — Il y a lieu de considérer le cas où les coefficients a^, cii, ... et la variable z sont réels. On reconnaît