VI. — siiniKs i: NT II": uns v imc vAiuArii.i;. ^'i

(luuno i>(-v\c (Miliùre de (-(itc (oiiiic, (iiToii appelle série entière réelle, a un mleivalle de eouvcrgence détermine (^ — li„, + Ko)- ''^"fesl converj^eiile en loul pomi intérieur à eel inlervalle, divcrgenlc en tonl point extérieur; il v a duule |)our les exlréinitf'vs de l'intervalle.

Une telle série représente dans son inler\alle de convergence une fonction continue avant des dériv(''es de tous les ordres qui s'oblicnncnl en la dérivant ternie à lernie.

!2ii. Létude des séries entières montre que ces séries représentent des fonctions holomorplies.

Nous allons maintenant démontrer que, réciproquement, toute fonction holomorphe est représentable [)ar une série entière.

Série de Taylor. — Soit /"( :; ) une fonction d'une variable complexe ;, dont on sait qu'elle est holomorphe dans un cercle C de centre a (contour compris) {fig. '^i); x étant un point quelconque

Fig. -il.

intérieur au cercle C, on a la formule