HT. L Z — X

Ecrivons

En tout point du cercle (>, on a

de sorte que, en vertu de la théorie de la division étendue aux fonc-

44 CHAPITRi: IV. — FONCTIONS AXAI.VTIQUES.

lions de variables complexes. peut se remplacer par la pro-

gression géométrique décroissante

d'où

fiz) ^ {x — a)'\f(z)

Considérons cette dernière relation. En tout point du cercle C, la série du second membre est normalement convergente. En etrel, soient M une borne supérieure de [/"(r)], r le module de x — a, R le module de ^ — a, c'est-à-dire le rajon du cercle C.

Le terme général de cette série est en module plus petit que ^^^^ > qui est le terme général d'une progression géométrique décroissante. Donc la série peut être intégrée terme à terme sur le contour C, et l'on a

f(x\=-^ f JJJ2ÉÎ ^ ^ y r(-r — ayfiz)dz •^ 'ii~J^^ z — x li- Zd j^ (^a)"+'

ra = 0, 1, ...

Rappelons que nous avons trouvé (n" 227, p. 'x-i) ■

,, , r rf(z\dz . ,^ n\ r f(z)dz f(a)=^ ■- , f<M) a)=—r- / -^ -*

d'où, en sul)stituant dans l'égalité précédente,

C'est la série de Taylor.

On voit que toute fonction /(:•) holomorphe à V intérieur et sur le contour d'un cercle de centre a est représentable à r intérieur par une série entière en ( z — a).

245. Série de Laurent. — Supposons qu'une fonction /(:;) soit holomorphe dans la couronne comprise entre deux cercles C et G' de centre a et de rayons R, R' (R'<:; R) {fig. 22).

Etant donné un point x intérieur à la couronne, prenons; un cercle y de centre x intérieur lui aussi à la couronne; on sait que l'on a (n" 22o)

Jf. z — x J z — x Jy z —X '