VI. — SKIUKS EMIliUKS A bMC VAmAlll.i

les trois cercles C, C, y éUinl parcourus dans le scn> [(«•■^ihl; or.

jirili'yrale de - le l<iiii; de v csl égale à :>.i7Z fix). On di-duii

donc de ( i)

Fig. 22.

I)é\eloppons séparémenl les deux inli'grales du second membre. Pour la première, remplaçons ^ — ^ par la m('"me somme que précc-

demment, c'est-à-dire par y

r — Cl}' /( J )

, cette série étant

encore normalement convergente. Pour la seconde intégrale, comme

on a sur le cercle C <

nous écrirons

/(z) ^ f(z) ^ fis)

et, en développant en série convergente la quantité

obtient

Soit M la borne supérieure de |y(^) | dans la couronne.

Le terme général de cette série est en module plus j)etit cpie

qui est le terme gênerai d une progression géométrique

{x — a)i'-^ décroissante. Donc la série est normalement convergente.

En intégrant terme à terme ces deux séries et en substituant dans l'équation qui donne /(■x), on obtient

j -^ r {x — ay>f(z)dz i ^ r(z — a)i\f{z)dz

On a ainsi pour /{:r) un développeuicnt de la forme

/(a;) = Ao-+- A, (a; — a) -+-... -f- A„(j- — «)«-+-.. .

les coefficients A et B étant définis par les relations

■HT. Je (z—a)"+^ ' -i-i-J^.. •>

Pour tout point de la couronne où elle est holomorphe, /'(-s) se présente ainsi comme la somme de deux séries, la première entière

en ;; — a, la seconde entière en -; • C'est la série de Laurent.