VII. — Fonctions e~, %\\\z, ç.o%z

2i(). 1mi applicjuant la formule de Tajior (t. I, n" 121, p. i 17) à des fonctions réelles, on peut obtenir de ces fonctions des développements en séries entières. On a, sous certaines conditions, en appliquant la formule de Taylor au cas de .r = o et mettante au lieu de A, la formule de Maclaurin :

f{x) =/(0) -f- -/'(o) +. . .-+- ^/(«'(o) -4- -^—-7 /«+"(Oar).

S'il se trouve que, x étant fixé, le reste — : f^"'^^'>{nx) tend

vers zéro quand n croit indéfiniment, on en déduit que la série de

terme général — t/^"H^) '^^^ convergente et a pour somme /(x); on

a un développement de /(x) en série entière.

Un cas dans lequel on est assuré que le reste tend vers zéro est celui où les valeurs des dérivées de tous les ordres sont inférieures en module à un nombre A. En effet, dans ces conditions, le reste R«

x"~^^ x"~*~^ est en module plus petit (lue A r- Or, r tend vers zéro,

car c'est le terme général d'une série convergente (le rapport d'un terme au précédent, soit ; tend vers zéro

^ ' rt-4-I j