VII. — l'ONCTiONS e-^ sin«, c.os;;. \n
Comme exemples de fondions rcmplissinil (c^ condilioiis, on i»cul citer les trois foiK^lions de variables réelles ^•', sin.r, cosx. Pour siiu; et cos.r, les (léri\ées de Ions les ordres sont au plus éj^ales en module à I. Quant à e-^\ les valeurs de toutes ses dérivées sont égales à c-^ et forment par suite un ensemble borné.
Cliaeune de ces trois fonctions est donc rcprésenlabic par une série entière; la formule de iMaclaurin donne
eX = 1 H H 1- . . . H r -f- . . . ,
I 3! ^ ' {-y.p^xy. '
247. Soit maintenant z une variable complexe. Considérons les trois séries entières suivantes :
I 1.2 ni
( )n reconnaît que ces trois séries sont convergentes quel que soit 3, car le module du rapport d'un terme au précédent tend vers zéro quand n croît indéfiniment. Chacune de ces séries re[)résente donc une fonction de la variable complexe z qui est holomorphe dans tout le plan. Nous constatons de plus que, si :; reçoit une valeur réelle Xj les fonctions obtenues sont identiques respectivement à e-^, sina:, cosx. Par définition, lorsque z est une variable complexe, nous désignerons ces trois Jonctions par e=, sin^, cos:;.
coss est une fonction paire, sin :; une fonction impaire.
En prenant les dérivées des trois séries, on trouve (e^y=:c'^, .(sins)'= cos:;, (cos5)'= — s'inz.
Je dis que l'on a
gZ qZ' — e3+-',
:; et z' étant deux c[uantités complexes quelconques. En eircl, les séries représentant e~ et e^' sont, quels que soient z et z', deux séries absolument convergentes. On peut leur appliquer le tliéorème de la multiplication des séries (n" 232, p. 28). Ordonnons les ternies du
produit en groupant ensemble tous les termes de mémo dei^ré li par rapport aux variables z et z' . Le terme général ainsi obtenu est
-Il -' -/(-l ~'i -//— 2 -■/!
Ii\ \ (h -^i\\ ' -il (Il — -x)'. Ii\
ou encore
ll\ OU
On a donc
!2i8. R.emplaçons ô par iz dans le développement en série de e-.
Les termes de rang impair constituent le dévelop|)ement de cosx;,
les termes de rang pair constituent le développement de /sine, d'où
la relation
e'- = cos^ -+- j siii .3.
En remplaçant r par — :;, on a
g-iz =00
doù, par addition et soustraction,
e'~ — e-'- . e'- — e- (\) coss = j '•\nz = —
coiz — i s\nz.
En élevant au carré ces deux expressions et en ajoutant, on obtient
cas- z = I ,
Il existe pour sin:; et cos5 des formules d'addition identiques aux formules relatives aux variables réelles. Pour établir ces formules, partons de la relation
c'est-à-dire
(cos^ -T- /sin 2) (cos^'-i- i sin^') = cos(5 -t- ,s') -i- i siii (^ -i- ^'j,
ou, en développant le premier membre,
, , \ COS.SCOS.S' — sin^sinc'
( -1- i(sin 2 cos^'-4- sinj:' COS5) ^ cûs(2 -4- .3 ) -i- t sni (^ + ^ ). .
vil. l'UNCIKINS '■", siiic. VOSZ. 4!l
llccnvons la riièiiif (V)riiiulo en cliaii^eaiil z cri — z cL z' en — z' \ il vient
l cos^cnsc' — siiiô«in:;'
} — t( siii j c'dsc'-f- sins' cos;; ) = cos(;; -f- c') — i ■<\\\( z -¥- z' ).
Ajoutons et retranclions iiuMiihif ;~i mcmhrc les r(;latif)ns (aj et (3),
il \ ient
coi{z -h jz') — cosz cosz' — sin;; sins',
sin ( j -t- c' ) = sin;; cos^'-*- sin z' cosz.
Ce sont les mêmes relations que pour les variables réelles et, du même que pour les variables réelles, on en déduit toutes les relations qu\)n obtient en trigonouK'trie.
On désigne par eos byperbolique de :; et sin hyperbolique de :;, ce qu'on écrit ch:; et sli::;, les fonctions suivantes :
chz
-Sf '
sliz
(2yO-t-l)!
2i0. Considérons la fonction e^, et mettons^ sous la forme x-\-iy. X et)' étant réels. Nous avons
g: = e-c+'r = e-''e'r = e-*'(cos jk -f- i sin j^).
La partie réelle de la fonction e' est donc e^'cosjj^, le coefficient de L est e-'sinj^. Comme e^ est positif, le module de e" est e'^, so/t argument est y à un multiple de 2- près. Quand :: augmente de 2/-, le module de e= ne change pas. son argument augmente de 27:. On exprime ce résultat en disant que e^ admet la période 2 ir^.
On en déduit que eJ- et e^'-' admettent la période 2-; par suite, d'après (i), il en est de même de coss et sin:;.
Cherchons d'une manière générale à résoudre l'équation
u étant une quantité donnée. Distinguons deux cas. i" M ^ o. Posons
Il = o(c.osfo -\- i si 11(0 ) ^ p e'^.
Nous savons que. si :; est de la forme x + iy, e' a pour module e^ et pour argument >-. Pour que les deux nombres complexes e= et u soient égaux, il faut et il suffit (pie leurs modules soient égaux et que B. — II. 4
M) CHAPITHK IV. — FONCTIONS ANAIATIOl'KS.
leurs arguinenls dillèrenl d'un multiple de 3-. (J)n doll donc avoir
e-*' ^ p, y = M -T- 'i/cT ( /.• entier).
La première équalion détermine .r et donne
Lo désignant le logarillnne né|)érien (t. 1, n"* 73, p. 65); la seconde donne pour y une infinité de valeurs.
2" M=z o. 11 n'y a pas alors de nombre l'éel x tel (|ue Ion aile-^=o. l^e problème est impossible.
^oO. JNous déliniron^ les lonclious lang; et cot:; par les formules
ïiiiij cos;:
laiiirô = » colz = —. •
CDSC sin z
La première est définie pour toutes les valeurs de c, sauf celles pour lesquelles on a cosz =o, la seconde est définie pour toutes les valeurs de :;, sauf celles pour lesquelles on a sln:; = o; Or, on a C0S5 = o (piand on a
giz ^ g-iz (j on ^2iz = — I ^ ,
fl Ton a sin:; = o quand on a
e'~ — e-'- = o ou e"-'^ = i . D'ailleurs, en posant toujours z = x -\- iy, ou a
Donc, pour ces points exceptionnels, on doit avoir \e-'^\ =:e~^^;= i, d'où y = o, ce qui montre que z est ?-éel.
Ainsi, les seules valeurs de z qui annulent cos^ ou sine sont les \aleurs réelles de x qui annulent cosx ou sin.2;, savoir z =^ - -]- /ctz pour cos z et c = k— pour sine (A" entier).
On reconnaît que les fonctions tange et cote sont impaires et admettent la période —, d'après les propriétés de cose et sine.
VIII. — Fonctions multiformes : l^og^. z"^, arctangj, arcsin^.
2ol. Nous avons ^u que lécjuation
e" - z = z e'<^, si p ^ o, a une infinité de racines différant entre elles de multiples
