VIII. — KONCTIONS MII.TIKOltMI'S. Ht

de 21—. Rein;ir(jiionsi](|iic, dans le cas de c ic'fl el [xisiill, mic de ces racines esl le noini)!!; IjO (cf. !.. I, n"* (52 cl l'A).

D'une manière générale, cliacune de ces racines csl dite le iofii^arithnic de z. Nous désignerons rensemble de ces valeurs par Loge. D'après cela, on a

U = I-iOf^Z = Lp -+- t(to -4- -x/cTz).

Imaginons <|u"on parle duii point :;o <'" pli^n», dislinel de Tongiiie, parsuile tel (pie le motluK; p,, de ce poinl soil dilFérenl de zéro. Choisissons pour Log^o n'ïc délerminalion en lixanl l'argunienl, soil (o„. Cela élanl, si un poinl :; se déplace dans le plan en parlanl de z^ el endf'crivaut une courhe (pielcontpie sans passer jamais |)ar l'origine, la délerminalion de rargumenl de :; qui pari de too varie d'une façon conlinue el a pour chaque poinl de la courbe une valeur délerminée. La délerminalion de Log2 qui pari de la v.ilcur Loq + fcoo esl donc j)0ur cliacjue poinl bien délerminée el varie d'une manière conlinue.

Fis. 23.

Prenons deux deini-droiles pirlanl de O el considérons rune des régions R du plan limitées par ces deux droites {fii^. 23). Si z se déplace dans celle région el revient à son poinl de départ, la détermination de l'argument lo qui part de coq reprend sa valeur initiale; en effet, la variation de cet argument est égale à un multiple de 2 7c; or, elle est plus petite que l'angle formé par les deux droites qui limitent la région R, angle qui est lui-même plus petit que a?:. Donc celte variation est nulle, et par suite la détermination de Loge qui part de la valeur Loo-h«o)o re|)rend celle valeur (piand :; rexieutà son poinl de départ z^^.

Supposons maintenant que :; décrive un contour simple fermé entourant 1 origine. La détermination de l'argument de c. ipii csl égale

à oJo quand z est en ^o? devient égale à o>o+ 2 -quand z revient en .^o après avoir parcouru une fois le contour dans le sens positif. Si ;; décrivait le contour dans le sens négatif, cette détermination dexienilrait ioq — 2—. Dans tous les cas, la détermination de 1 argument varie de 2-, et la délerminalion choisie jjour Log:; varie de 2/7:.

On est conduit à considérer toutes les déterminations de iM'jiz comme les déterminations dijj'crenles d'une même fonction, cjuon dit être une fonction multiforme, ces déterminations étant susceptibles de s'échanger entre elles quand z se déplace dans le plan d'une manière continue.

Le point o autour duquel se permutent les déterminations est dit point critique [)our la ionction Loge.

Lne détermination u de Loge est. dans la région R, dont on aura enlevé la |>iirlic contenue dans un cercle de centre o et de rayon s, une fonction à détermination unujue. autrement dit uniforme. C'est une fonction inverse (n" 218, p. li^) de z = e"^\ c'est donc une fonction holomorphe de u et sa dérivée est

- -' pli

252. Si ;; et z' sont deux valeurs de la variable z telles que

z = oe'^, z' — p'e'<^', on a

Log;; -+- Lo^-s' = Lpp'-H t [a» -4- w'-r- xi Ix -\- k' )~\.

Or, le produit :;;' a pourniodiilc op'et pour argument w + to'. On a donc

Loy^zz' = Log^ -I- Log^',

en entendant par là que la somme de deux déterminations quelconques de Loge et Loge' est une détermination de Logée'.

253. Si Ion considère la fonction Log(e — « ), où a est un nombre complexe donné, en posant e ^ a + e', on reconnaît que a joue pour cette fonction le rôle que joue o pour la fonction Loge.

Elle a une inlinité de déterminations dont chacune est holomorphe dans une région obtenue en menant par a deux demi-droites quelconques, en prenant la portion du yjlan comprise entre ces deux demidroites après en avoir retranché un cercle de centre a et de rayon £. On en déduit, par exemple, que chacune de ces déterminations est holomorphe dans un cercle du plan ne contenant pas le point critique a.