II. — lONCriONS llK VAUIAIU.KS CO.MI'I.KXKS

certiiiu (loniainc h du |)hiii des./', y. Si ; |)i(;ii(l iiiic suiU; de valeurs x,i-{- iy„ tendaiU vers iiiu' valeur lixe x-{-iy^ les nombres l*(^„,y„), Q(a.',/,J'«) lendeiil vers l*(u:-, y), Q(.r,y), de sorte que u[z„) tend vers u{z). On exprime ce fait en disant que // est l'onction conlinae de ,^.

Cela posé, donnons à c deux valeurs difiV-renles z^x-\-iy, z + Iz =^ X ^ Aa- + i\y + ly).

Soient // et ii -\- \u les \aleurs correspondantes de la fonction. On a \u --= AP -i- i \{) et, par suite.

Ah \P -+- j AQ

Introduisons l'hypothèse que P et Ç) ont, pai- rapport à x et y, des dérivées partielles du premier ordre continues dans le domaine D, et cherchons dans quelles conditions il y a, pour le rapport — . une limite déterminée quand A.r et Ay tendent vers zéro

d'nne manière quelconque.

Considérons d'abord deux cas particuliers :

i" Si Aj'- = o, c'est-à-dire si x varie seul, on a, quand A:r tend vers zéro,

,. lu ,. AP + tAQ dV .dO

1 1 ni = h m = 1- i - — •

A;; \x ox ox

1^ Si Aj? = o, c'est-à-dire si y varie seul, on a, quand Ar tend vers zéro,

,. \u ,. AP-+-/AQ .ÔP dO

Il m — Il Ml : = l ! r — •

Aj i ly ôy uy

TT • , 1- • I AM j

Une première condition pour que le rapport — tende vers une

limite déterminée, quand àx et A;' tendent vers zéro d'une façon