VIII. — FONCTIONS Mll.TironMKS. 5'i
l'.ii |»iirli(iilicr. ;i|t|»li(|iii)n.s ce r<';siill;it .m •m-' il*- o :::= — i. ()m \oil que cliiu|iu' délcriniualioii de [^o^(i-i-c) esl linluinorplic thiiis Irjut. cercle de centre O'el de ravon plus petit que i. (^etle d<'lermiiialiuii esl donc déveIo|)pable en série de Tajlor, !<; développeineni <'l;m( valable pour tout point inUM'icur au cercle C <le rayon i. Prenons, j)ar exemple, la délei'ininalion cpii s annule pour ^ = o, et clierclions son déveloj)peinent. On a
f(z)=-^, f'[z)= ! — -, ..., /«)(;;, = (,y'-i^ZLZLii:,
d'où
/>t)(o) = (— i)"-i(rt — i)!
r.a lorniule de Tajlor donne donc
le développement étant valable pour tous les points intérieurs au cercle C, réserve étant faite pour les points du cercle. En particulier, le développement est valable pour toutes les valeurs réelles de z inférieures à I en valeur absolue.
l2o4. Nous allons faire maintenant létude de la série sur le cercle <le convergence.
Deuxième lemme d Abel. — Soit «o? <'^f« •••• '^^/»< ••• f^'î^ suite infinie de quantités telles que les sommes
sont toutes inférieures en module à un nombre A. Soit d'autre
part
Ko, ai, . . . , a,,,
une suite infinie de nombres positifs décroissants et tendant vers zéro. Je dis que la série
(2) aoao-i- «ix, -4-. . .-F a/,a/,-^. . .
est comergente.
\\n. edel, la somme
qui est égale à S„+^ — S„, est en module plus petite que 2 A. Donc.
par application du premier lemnie d'Abel (n" 242, p. 4i)? on a
Soit S„ la somme des n -\- \ premiers termes de la série (2). Cette inégalité sécnt
Quand n croît indéfiniment, aAa,,^, tend \ers zéro. Donc la somme S,; satisfait aux conditions du théorème de Cauchy (n" 210, p. 4) et, par suite, a une limite; donc la série (2) est convergente.
255. Cela posé, étudions la série de terme général ( — i)"~' — sur le cercle de rayon 1 . On a sur ce cercle
z = cosO -+- i siuO = e'O, z" = cosnO -t- i siti /i6,
0 désignant langle du rayon variable O:; avec Ox. Nous sommes conduits à étudier les séries
cos-iO cos3 6
cosO sin6
En changeant 0 en 9 + tt, ces séries se changent, au signe près, en , cos';>. 8 cos3f)
COsO H 1 h. . .,
. „ sin>. 6 sinSO
sin6 H 1 ; h. . ..
Nous allons montrer c|ue les sommes suivantes :
cosO -t- COS2Ô -I-. . .-H cosn6, sinO -I- sin •>. 6 H- . . . -I- sin/( 6,
sont, quand n Aarie, bornées en module, quel c|ue soit 0, excepté pour les valeurs de la forme 6 = 2/7:. Partons de l'identité
Dans le second membre, le numérateur est en module plus petit que 2. Le dénominateur est diflérent de zéro si 0^2^71. Donc, en écartant le cas de 0 = Ak-, on a
vm. — K(tN( iiiiNS Mil m <)iiMi:.s. et, en iciiiphiciiil 0 |)iii' — 0,
Or. oïl a
cosO -r-. . .-r- cos/iO = - ( <?''0 -i- . . . — e"''^-i- e-'O-i-. . . -(- ^-"'0 ,,
sinO -H. . .-t- «innO = —.( e'^J -+-... -+- e"'^ — e ''^ — . . .— e-"'ô >.
Donc les deux soinines (|iii lii;iirpnl dans les pienders menihies de ces relations sont borni'-es fjuand a \aiif. (3n en déduit, par a[t|>li(alion du deuxième leiuine d Ahel, la convergence des séries suivantes :
^ cos>. 6 cof!/iO
COS tJ -1 h ... H ■ f- . . . ,
inO
sinaO sin/tO
et, par suite (en remplaçant 0 par fj + -), la convergence, pour
(j ^ (2// + i)-, des séries
. COS -2 6 , . C0S/l6
(i) cosO ...-+-( i)'i-i -—...,
s in /iO
ft
si II 7,
(2) sinO — ^ i-. . . -i- (— i/'
Pour 0 = (2/,-+ I ITT, la série (2) a tous ses termes nuls, mais la série (i) est divergente (série harmonicpic 1. Donc la série
est convergente sur son cercle de convergence, sauf pour c = — i .
On a vu (n" SiS, p. 4 0 cjne, si unt^ série est convergente en un point du cercle de convergence et si un point variable tend vers ce point du cercle en se déplaçant à l'intérieur du cercle sur le ravon correspondant, la \aleur de la fonction sur le cercle est la limite de ses valeurs sur le rayon à l'intérieur du cei'cle. D'autre part, la limrtion Log(i +^) est continue cjuand 5 se déplace sur le ravon. Donc il y a, en tous les points intérieurs au cercle et en tous les points du cercle, sauf au point z =^ — i. égalité entre Log(i -r ^) et la série précédente, la détermination de Log^ étant celle qui s'annule
56 CHAJ'ITRE IV. — FONCTIONS ANALVTIQLES.
en niènie teiDps que z. En résumé, on a, si | :; | ^ i et ; ^
Log(i -+-2)= 1 --(-...-(-(— I )"-• H. . .
2o6. Quand z est égal à f'^, on a
