VIII. — lONcTioNs Mii.i iruiiMF.s. 5y
série «lu second membre est converj^en te (|ii<l i\nr so'ilH ^ ('.*./,■ -}- i)-. I3'aill('uis. pour 0 =^['i.k H- i )-, les termes de la série sont lous niil>. V.n n'-suiiK', hi srri'p convt'rar (jupI que soit 0 et représenl'- mii<' eerlaine fonction /(^i) jouissant des propriétés suivantes :
l'our — - < 0 < -, on a /( 0) = -•
Pour 0 ^ — - et 0 = -, on a /(^O ) = o. Par conséquent, si nous posons
y(0) est représentée dans l'intervalle ( — -, +•::), les limites étant exclues. [)ar un segment de droite avant pour équation r = - et par deux points isolés correspondant à ces limites (//^. 24).
Fi
Comme /'(f)> est une fonction périodique et admet pour période 27:. on voit que. géométriquement, ./ (^ » sera représentée par une succession de segments de droites et de points isolés. Nous avons là un exemple de fonction discontinue représentée par une série de fonctions continues.
2o7. Fonction :■"'. — z étant un nombre comjilexe quelconque diflerent de zéro. /// un nombre complexe quelcon(|ue, nous poserons par définition
Log :r étant lune quelconque des déterminations de la fonction logaritlimique définie précédemment. Remarquons que cette relation est bien vérifiée dans le cas où ; est réel et |)Ositif. et m réel. Log3 étant remplacé par Lz {cf. t. 1, n'" ()!2 et 73). Dans le cas général, soit
z = p(co<cp -I- j sincp), m=p-T-iq.
On a alors
Il y a pour z'"- une infinité de délerminalions. Dans toute région du plan où une détermination de Log^ est fonction holomorphe de z, :■"' est aussi fonction holomorphe de :;.
Considérons en particulier le cas où m est réel; nous avons q = o, d'où
Si p est entier, on voit qu'il j a pour zP une seule détermination.
Si p est fractionnaire et é<ral à une fraction irréductible -> deux
déterminations différentes de zf diffèrent |)ar le facteur r'P'^''~. Cette quantité peut prendre s \aleurs distinctes, il v a donc pour zP s déterminations. Ces déterminations se permutent l'une dans laulre quand :; décrit un cercle de centre O, car, dans ce mouvement, 1 argument de z augmente ou diminue de a?:.
Si p est irrationnel, il y a pour zP une infinité de déterminations.
Sauf dans le cas où m est entier ^ o, le point z = o est critique.
Dans tous les cas, une détermination de :;'" a une dérivée que nous allons calculer. On a, comme z'" ^= ^my.ue:^
la détermination de c'"~' étant obtenue en prenant le même argument que dans la détermination choisie pour :;'".
258. Vu lieu de s'", considérons la fonction (l^-^)"^ G est le point z = — I qui est point critique pour cette fonction, comme 5 = o l'est pour la fonction z^K Dans tout cercle de centre O et de rayon plus petit que i, (i + z)^ est holomorphe. Il en résulte que le déveloj)penient en série de Taylor est valable à l'intérieur du cercle de rayon i . On a
/'(s) = md-f- 3 )'«-!,
f"(z) = ni( m — i)(ï -^ z)
/'Pi (z)= ni( m — ij. . .(/?i — /) -f- i)(i -H z)"*~i'. Prenons la détermination de ( i + ^)'" qui est égale à i pour
Vm. — KllNr-.TIONS Mll.TII OHMIiS. ')(>
:; z=: c). ( )n voit <[iic, pour :; ^ o, /*, /', /', ...,/'' prennent res[»f( tivenienlles valeurs i , «<, /ti[/n — i ), . . ., ni (ni — \ ). . .(m — /> ■+■ i >. d'où
/)> nt( m — i) ^ ni( ni — \). . .( ni ^ p A- \ \ ^
C'est la série Ji/ Innonic; elle est applicable pour | :; | <; i.
2o0. La fonction ;'", quand m n'est pas entier, donne un exemple de fonction multiforme. Prenons, pour fixer les idées, la fonction
q étant entier positif. Avec les notations précédentes, nous aurons
- / 'z, -~ -t.k- . . o -~ ik- \
z'J = s7 cos ■: h i sin -i •
Cette fonction a. comme nous lavons vu. </ déterminations qui s'obtiennent en donnant, à l'entier k. (j valeurs entières consécutives, par exemple les valeurs o, i, 2. .... q — i. Une détermination de ii correspondant à la valeur k se change, quand le point z décrit dans le sens positif un cercle de centre O. en la détermination correspondant à A -j- I . u est donc une fonction multiforme à q déterminations, ayant pour point critique 1 origine.
t2(>0. Pour prendre un autre exemple, considérons la fonction a définie par l'équation suivante :
u^^^ (z — ax){ z — a, ) . . . ( 5 — a,^ ),
rt|, a-x-, ..., dp étant des nombres complexes distincts. Quand z est distinct de «,, a-xi . . -, cip-, il y a deux valeurs distinctes de u satisfaisant à cette équation. Posons
On a
«2 =, ,., ,..^. . r^^ gM0,+ 0.+ ...-+-9^).
U a donc toujours pour module (/'i r.^ . . -rp)'. Soit H largunienl de u.
iH est 1 argument de a-, mais n.'- a aussi pour argument
6o CHAPITRE IV. — FONCTIONS ANALYTIQIES.
à un multiple de 2t: près. On a donc
26 = Oi^62-f-...-+-0/,-f- -ikr.,
d'où
Suivant que k est pair ou impair, on a deux séries de valeurs pour 8 et, par suite, deux déterminations opposées pour a. Quand :; décrit un cercle de centre <7, ne contenant aucun des points «05 • • •? a p, l'argument 0) varie de 2-; donc H varie de r, chacune des déterminations de u se chang^e en l'autre. La fonction u est donc une fonction multiforme à deux déterminations, avant pour points critiques les points «, , «j, . . ., ap.
