VIII. — KONCTIONS Ml l.ril OllMKS. ('. i
ininalKiii du Loi; el. |);ir suilc. de ;irclani;\; csl li(»l(iiii(»i plie. (hi;iu<l 3(lf('nl lin |Miit ('«'iclc ;iiil(iiir de I un de ces |)oia(s, la iN'Iciiniiiii tiou cliolsie |)()iir Ir l>oi; anyinenlc de zii 2 /t:, la dt-LenninaLlon correspondante de are langj augmente de in-. IJailIcurs , comme :; = tang// admet la période -, il est sur (pie //. a une infinité de déterminations ditlérentes entre elles de niullipics de t:. Cheicli<»ns la dérixée de arc tanjir. Nous avons
z'u = i -r- laii^-a, doù
Toute détermination de arc tang5 est holomorphe à l'intérieur du cercle de centre O et de rayon i, puisque les seuls points critiques sont sur ce cercle. Pour avoir le déveloj)pement en série entière de arctang;, remarquons cpie nous avons immédiatement celui de la dérivée ; on a, en ellel, pour | - | <C h
d'où, par intégration.
arc tangs =
la détermination de arctang; ainsi obtenue étant celle qui sannule avec 5, et le développement étant valable pour | ;; | << i . On arrive au même résultat en partant de la formule
arc taiig- = — r [ Logd ~y- iz ) — I.ogi i — iz )\
et des dévelopj)ements
Los(i -h iz)= 2^ (29^1),
Lo<^(i — iz) = y — (5?= — i).
Cette méthode montre que le développement de arctangc est valable sur le cercle de co/n-e/s^^ence, sauf pour z = ±: i.
En particulier, pour x réel et tel que — i<a:^i, le développement représente la détermination de arc tangx qui s'annule avec x.
(32 CllAIMTlU: IV. — lONCTIONS ANALYTIQUES.
2f)2. Fonction arcsiu:;. — ÎNoiis déliiiirons la fonction
u = arc si 11 c paj- la relation
I ^2ui — j
z = SI II M = —^(c"" — e-"') =
il ■ -Me"'
Posons e"'=: t ; l est donné par la relation
ii z I = t- — I
on
t- — -xi z t — I = o,
d'où, en résolvant cette équation du second degré,
t = iz±i \f\ — Z-.
On a donc
M = - Lu;;/ = - \.og{iz dr /i — z-) .
On voit qu'il y a poui* ;/ une induite de déterniinalions se groupant en deux séries suivant le Mgiie choisi devant le radical. D'ailleurs, la quantité dont on jirend le Log ne s'annule jamais, car il laudrait pour cela que l'on eut
(iz)2=i — c-, d'où 1 = 0.
Les seuls jioinls critiques de u sont les points ^ :^ =b 1 , jiour les- (juels il y a échange de déterminations pour le radical.
Pour avoir la dérivée de «, appliquons le théorème des fonctions in\ erses ; on trouve
' JL ' -'
Toute détermination de arcsin:; est holomorphe à l'intérieur du
cercle de centre O et de rajon i, par suite, est développahie en série
entière dans ce cercle.
Pour avoir ce dé\ eloppement, cherchons le développement de la i dérivée (i — z'-) ' par la série du binôme. Le terme général est
(— !)/'(— |)(—?— I )...(— i—/>-+- 1 )='-p 1 .3. ..(i/? — pz^/'
JLu inte"i"ant la série 7 — j y on a le développement
» À^ -il' p\ ^^
cherché :
arc sin ô = H. . .-1 , r . . . ,
