VIII. — l'ONCTIONS MII/riKORMICS. O

le dévcloppcniciiL éliiiil valable à l'iiilérieiir du (•ciclc de ia\()ii i il la détcnninalion considérée étant la délcrniiiinl nui dr ,\\i>ii\z i|iii s'annule ave<" :;. Ku jiai Ik iiIki . puni- ./■ réel et coiiiidi^ riili»; — i et -r I , le dé\ eloppeinenl est \alahle et rej)r('seiite la lonelion réelle aicsina: qui s'annule avec ./'. On eonslate, de j)liis, (pie la si-rie est converi;ente pour ji" = riz I ; le dé-\clii|»peiiiciil sapplii|iic donc encore à ces valeurs, d après un raisoniieniciil dépi employé ( n" !2o.j, p. 55 j.

203. Applicrtlion à l' iiitcgralion des /raclions radonneLles. — Celte ('tude montre Tanalogie qu il j a, d'une part, entre la lonelion logarithmique et les lonctions circulaires inverses, d'autre part, entre rexponentielle et les lonclions trigonomélriques.

Reprenons, au point de vue complexe, l'étude des fractions rationnelles ; une telle expression est une somme d'éléments de la forme

A , ,. , , , 1 A • Lmtei^rale (le cette expression est — si o > i

et A Log(^5 — <7) si /> = 1 .

Pour rattacher ces résultats à ceux (jn'on a acquis dans le cas des variables réelles (t. I, n° 96, p. 83), supposons qu'on o|)ère la décomposition d'une fraction rationnelle à coefficients réels en éléments simples, sans réunir ensuite les éléments correspondant aux racines imaginaires conjuguées. Soient, par exemple,

M 1 -H Ni f iM 2 — No i M/, -4- Si, i

Ml — >it ISlo— M.,t M/,— A/,t

X — y. ^- 'ji [ X — 2 + 3 / )- ' ' ' [ X — a -H ^ i)'^

les termes correspondant à deux racines imaginaires conjuguées d ordre A, a -t- |j/, a — [jf.

Nous avons, comme intégrale des termes dont le dénominateur est de degré ).(A^2), à un facteur numérique près,

{x — OL — '^ i )>'-'^ ( J- — a -i- ^A )5--'

La somme de ces deux quantités est réelle.

Quant aux termes dont le dénominateur est de degré i, ils donnent

i Mi -^- .\i i) l-ogi X — a — !: « ; n- ( M , — ^\i) Log(,7- — a -<- '^i \.

Soient o le module et 'i rargument de la cpiaiitité x — a -h |j /, on a

p = y/( j- — a »- -h [i^^ cp = arc laiii; — '■ ,

64 CHAPITKK IV. — hONCTIONS ANALYTIQIKS.

et l'expression précédente devient

(M,-f- N,i)(Lp — /tp)^- (M,— NiOd.p + iç),

c'est-à-dire, après réduction,

■xMi Lp -I- •iNitp.

On retrouve les résultats précédenmicnt élahlls.

Comme cas particulier, rappfdous les formules suivantes :

/— :3=^ = L ( 07 -+- y/ 1 -f- x^j, I — z= = aie sinx.

\u point de vue des variables complexes, ces deux formules n'en forment qu'une seule, à cause de l'identité de la fonction arc sin avec la fonction Log. On passe de l'une à l'autre en changeant x en ix.