IX. — Généralités sur les fonctions analytiques
26i. — On appelle fonction analvlic/ue une fonction (l'une variable complexe z qui est bolouiorplic au moins dans une certaine région, sauf en certains points exceptionnels.
Un point a tel que la fonction analjticjue f{z) est holomorphc dans un certain cercle de centre a est dit point régulier poury(3) ; on dit que f{z) est régulière en a. On sait (n" 2ii) que dans un tel cercle /"(s) est représentable par une série entière en (5 — a).
On di^^eWe fonction entière une fonction analytique qui est régulière en tout point du plan, c'est-à-dire liolomorplie dans tout le plan.
Citons, comme exemple de fonctions entières, les fonctions e^, sin 3, cosî, cli^, shc, un polynôme en z, ou encore toute série entière obtenue en multipliant les termes de la série e^, par exemple, par des nombres arbitraires dont l'ensemble des modules est borné.
265. Théorème de Liouville. — Une fonction entière dont le module est borné se réduit à une constante.
En elFet, soit y (s) une fonction entière dont le module a pour borne supérieure un nombre fini A. Celte fonction est développable
z" en série entière en.:; ; le terme général du développement est —. f^"'> [o).
On a, pour n ^ o,
f{Z)dz
., ,, n\ rf{z)d
I\. — (iKMhlAMTKS St'll I.i:S KONCTIONS A\VI.VTH.H IS I,',
Y t'taal un cercle (|iielcoiu[iM' de <eiili c ( ) ; soil li le raj'oii de ce cercle. Evaluons une limite supérieure du modide de /'"'^ (o). On a
Comme R jieul être pris aussi grand que Ton veut, le second memhi-e peut être rendu aussi petit que l'on veut; donc, quelque soit /^,/^"^ (o) est nul. Par suite, dans le développement de Tajior,
tous les terme-; sont nuls à jparlir du second : /"(^) se réduit à une constante.
26(k Etant donnée une (onction analytique /"(v), tout j)oint non réj;ulier pour cette fonction est dit point singulier. Nous dirons que a est un point singulier isolé poury(c) si l'on peut trouver un cercle de centre a dans lequel n'existe pas d'autre point singulier que a.
Une première catégorie de points singuliers est constituée par les pôles. On dit que a est un pôle d'ordre p pour /(s) si la fonction (:; — a)P/{z), p étant un certain entier positif, ailinct a comme point régulier et tend vers une valeur différente de zéro quand c tend vers a. Dans cette hypothèse, la fonction (5 — a)Pf(z) est liolomorphe dans un certain cercle de centre a ; on a donc un développement de la forme suivante :
Bo
A partirdu (p 4- i Y*""" terme, on a une série entière en z — a, de sorte que la fonction /*(^) est représentée dans un certain cercle de centre a, en mettant à part le point a. pnv un développement qui comprend une série entière en :; — «et un nomhre fini de fractions rationnelles. On voit que, quand z tend vers a, le module de/ augmente indéfiniment.
On appelle pa/'lie pj'incipale du développement de y (;;) l'ensemble des termes fractionnaires.
267. Prenons comme exemple une fraction rationnelle irréductible
— — -• Elle a comme pôles toutes les valeurs de z qui annulent Q, l'ordre
de cliaque pôle étant le degré de multiplicité de ce point en tant que racine de Q. En eflet, si a est racine d'ordre p de Q{z), on peut
poser
Qiz) = (z-a)i'Riz) [R(«)^o],
de sorte que l'on a
Dans un cercle de centre aeldc rayon assez petit, R(:;) est diffé-
rent de zéro; donc ^rr— r est fonction lioluinornhe dans ce cercle et a
une valeur dillerente de zéio au point c/. Donc ce point a est pôle
d'ordre p pour -- •
Comme autre exemple, prenons la (onction
cos z
col z = -: :
sin z
on reconnaît que l'on a
sin z = z 'l (z),
•i>(s) tendant vers i lorsque z tend vers zéro. Donc ^cot2 est fonction holomorphe de z au voisinage de l'origine. Par suite, z = o est un pôle d'ordre i pour cot z.
268. Un pôle, pour une fonction analytique, est un point singulier isolé. — En effet, si a est pôle d'ordre p pour f{z), cette fonction /(z) est égale, dans un certain cercle C de centre «, à la somme d'une fonction holomorphe de z et de l'expression
B,,^ Bi(^ — a) + ...-l-B,,i(^- a)i'-'^ ( z — a)i'
laquelle est le quotient de deux fonctions qui sont holomorphes dans tout cercle C contenu dans C et ne contenant pas a. Donc f {z) est holomorphe dans les mêmes conditions. Il n'y a donc pas dans C de point singulier autre que a.
1\. — (iKNKKALITKS SUR LKS KONCTIONS ANALYTIQUKS. 67
269. Une roiiclion analylique est dite mcromorphe dans une certaine région si, dans celle région, elle n'a [)asd'aulr<!s |)oinls singuliers que des pôles. Par exemple, une ("raclion ijilioniiclle en z rs\ foiichon niéroniorplie dans lonl le |d;iii, car elle ne cesse d'circ ré-gidirtc fnTcii un pôle.
Dans un domaine, borni', les pairs d' une Jonction méroniorplusont en nombre fini, car, si cela n'était pas, il y aurait (t. I, p. 42) un point A tel que lonl cercle de centre A contiendrait une infinité de pôles; Ane serait donc ni un point régidier, ni un pôle (qui est nécessairement is(dé).
Remarijuons (|ue, si f{z) est analytique, son inverse '0{z) = -: — -
l'est aussi (n" !21o, p. ()). En un j)oint a où f{z) est régulière et ^irt'érente de zéro, cp (;:) est régulière, l'.n un point a tel que
fiz) — (z — a)P<h{z), p étant positif et 'l [a) étant dilîerent de zéro, on a
oiz) = '— T^,
<i est donc un pôle d'ordre p pour ci ; on dit que c'est un zéro d' ordre p pour/". Inversement, un pôle d'ordre /> pour /est un zéro «d'ordre/) pour cp. 11 résulte de là que Les zéros d^ une fonction analytique, c'est-à-dire les points pour lesquels elle est nulle, sont des points isolés, puisque ce sont les pôles d'une fonction analytique. •On en déduit aussi que, dans un domaine borné, une fonction méromorphe a un nombre fini de zéros.
270. Tout pDiiil singulier d'une fonction analylique qui uest pas jpôle e%l à\l point singulier essentiel. Jl y a lieu dt-tudier d'abord lies points singuliers essentiels isolés.
Soit a. un point singulier isolé. Traçons un cercle C de centre a ne contenant pas d'autre point singulier- que a et un cercle C concenitrique et intérieur à G. Dans la couronne comprise entre ces deux 'Cercles, f{z) est liolomorplie et par suite dévelo{)pable en série de Laurent ( n" 24o, p. :\(\). Comme les coefficients du développement ine dépendent pas du rayon de C, le développement est valable en tloul point intérieur à C autre que a. Ainsi, étant donné un point singulier isolé a, f{z) est représentable en tout point intérieur à lun certain cercle de centre a, sauf au point a, par un développe-
ment de la forme suivante :
/(^) = Ao-i- Ai(5 — «)-(-.
Si les termes fractionnaires de ce déxeloppenienl sont en nombre
limité, a est un pôle et réciproquemenl. Il n v a point singulier
essentiel cpie si ces termes sonl en nombre illimité.
Prenons, par exemple, la lonclion e". On reconnaît que Ion a en tout point, l'origine étant mise à j)art.
L'origine est un ))oinl singulier essentiel isob- pour cette fonction.
"271 . Point à l'infini. — il peut a- avoir lieu dY-tudier une fonction aiialvli(pie /"(:;) (piaud r croît indéliniment. On pose pour cela
et Ton ('■ludie la fonction /"( —\ = Z'(z-') au voisinage du point ::'^o.
Sui\ant que ce j)oinl est régulier ou singulier, Z(''ro ou p(')le pour cp(5'), on convient de dire que le point à V infini du ])lan des r est poury(;) un point régulier ou singulier, un zéro ou un pôle.
!27;2. Prolongement analytique. — Etant donnée une fonction analyticpie liolomorplie dans un certain cercle C de centre <7, soit b
uu point intérieur à ce cercle {Jig- aô). On sait que, dans G, 'la fonction est représentable par une série entière en z — a, soit P(5 — a). Or, il existe un cercle de centre b tel que la fonction est aussi
\. — ncsiiiis. (if)
h(tlomor|ilu> diiiis ce ccrclo, <lc suiic (jii il cxi-,!!: pour |.i loin lion un clévelojt|)iiiiriii en sc-n'c entière en :; ■ — h. >(»il ()('c — h), il peiil arriver que celle «Icinière série ;iil |ioiir (•ciclc de cniiNfr-ciKT un «erclc C rearcrnuinl une |);n"tie exl('ii<nre ii (>.
Les deux développenienis V(z — r/), i){z — h) représenhni l.i même fonction /(3) tl;in> \;\ parlie eornuiune à (î el (','. Hn dil (pic CCS deux séries sont \e prolongement (tnalylifjui' Wuw de I autre, et que ce sont deux éléments iVunc nn-me fonction analytique.
Parlant de ("/. on pourra répéter la même opt-ralioii, et ainsi de suite. On peul ;iiiisi dc'-linii- une lonelion analvti(jue dans toute la région du plan dont les points sont intérieurs à l'un au moins des cercles d'une série C, C, C", ..., deux cercles consécutifs ayant toujours une partie commune, i/opération que Ton ellectue ainsi ■s'appelle [e piolongement analytique de la fonction donm-e.
