X. — Résidus

273. Soit a un point singulier isolé pour la fonction f(z). Considérons ( n" âio, p. 46) le coefficient B, de dans la série de

Laurent qui représente^ ( ^) dans un cercle ■' de centre a. ne contenant pas (Tautre |^oint singulier que a. On a

,B,= 4^ //<.,rf=

■ou encore

Le nombre 1ji est dit le résidu de la fonction relatif au point singulier a.

274. Théorème DES iiÉsinus. — Soitfiz) une Jonction analytique considérée dans une région R dont la frontière est un contour simple Ca. f étant régulière en tout point de C et ayant dans la région R un nombre fini de points singuliers^ a, b, .... /

Évaluons l'intégrale i f(Z)dz. Pour cela, de eliacun des |)oints • (.

singuliers a, 6, .... / comme centre, décrivons un cercle (pu ne contienne pas dautre point singulier tpie son centre. Soient 0^,

70 CHAPITHE IV. — FONCTIONS ANALYTIQUKS.

Ci, . . . , C/ ces cercles. On a (n" !22o, p. if))

I f{z)dz= f/(z)dz-^f/(z)dz-^...^ ffi^)dz, Fis. afi.

car/(s) est régulière en loiil point de la rt''i;ion oljleniie en enlevant de R ces difTérenls cercles.

D'après le n" 273, en appelant A, B, . . ., L les résidus de /relatifsà a, b, ...,/, la formule précédente donne

ff{z)dz = 'li-iK ^ B -f-...-4- L).

Ainsi r intégrale de f prise dans le sens positif le long de C est égale au produit par iItz de la somme des résidus relatifs aux différents points singuliers contenus dans R. C'est le théorème général des résidus.

27o. Considérons le résidu relatif à un pôle a d'ordre i . H y a dans le développement de / un seul terme fractionnaire; son coefficient, qui est le résidu, est donc certainement différent de zéro. C'est la limite, pour z =z a^ de l'expression (5 — a)f(z). Supposons, par

exemple, que/(z) puisse se mettre sous la forme d'une fraction Tyr^- >

a étant zéro simple de Q et n'annulant pas P. On a, dans ces conditions,

Q(s) = (^ajR(5), R(a)^o.

Le résidu relatif à a est -=r-^ • Or, on déduit de la relation précé-

dente

Q'(z) = Riz) ^(z-a)W(z},

d'où, en faisant z = a.

Q'(a) = R(rt),

de sorte que le résidu est égal à 7J—-I • ^ ^ Q(«)

Si a esl |)ùlc croidrc p >• i pour /, le rcsidti csl le rof^nieictil de (:; — a)P~^ dans le développernetil de la fonction holomor[)he

{z — a)Pf{ z ).

Il convient de reinarcpier (|ue, dans le cas d'un pôle d'ordre supérieur à I ou d'un j)oint singulier essentiel, le résidu peut être dillerent de zéro ou nul.

276. Supposons que J\z) soil niéromorphe dans la région R, c'est-à-dire n'ait pas d'autres points singuliers que des pôles. Considérons l'intégrale / , " ' dz. La fonction*^ ne peut avoir pour points

singuliers que les zéros et les pôles àc f. Soil a un pôle ou zéro dey. On peut poser, dans les deux cas,

cp(<2) étant fini et difterent de zéro. Si /.» «< o, a est un pôle d'ordre égal à — p\ si/> >> o, rt est un zéro d'ordre p. On a, par dérivation logarilliinique,

IL ^i. ^ p

f cp c — a

La fonction — est régulière au point a, de sorte que la fonction =-j

admet a comme pôle simple, le résidu correspondant étant p. On en conclut que, si f possède dans la région R, limitée par le contour simple C, h pôles et k zéros, chaque zéro ou pôle étant compté avec son ordre de multiplicité, on a

f'{^)dz

.. =z -ii-ik — h).

277. Le lliéorènie des résidus a de nombreuses applications; il permet, par exemple, d'évaluer certaines intégrales définies réelles. Prenons la fonction

giniz

m étant un nombre positif. Celte fonction admet comme points singuliers les deux points / et — i. Considérons le contour formé par une demi-circonférence de rayon R > i et un diamètre A' A de cette

demi-circonférence {fig- 2j); on a, d'après le ihéorème des résidus,

AlîAA

Fig. 27.

11/ élaiil le résidu relalif au j)()inl singulier z = /. (jomme i esl une racine simple de i -|- c-, on a

d OÙ

et, par suite,

Jf gimz f — dz — Tze-"'.