II. 1 dP .dCl

quelconque, est (jue les deux nombres complexes — +'t-'

.dP ôO . . ' . ,• r

— i- i — -^ soient ci^aux, c est-a-dire (lue 1 on ait

ôy ây '- '

OV dO dP àO

ox oy t)y dx

Je dis que ces conditions sont suffisantes. En elTet, supposons-les remplies, ^x et ly étant quelconques, on a, d après la formule des

6 CHAPITRE IV. — rONCTIONS ANAI.VTIQfLS.

accroissements finis,

AP = - ( a:- -(- 0 A:r, r -f- 0 A y ) Aa7 + — - ( a; + 0 Ar, y + 0 A y ) A v, dx Of

AO = — ^ (a: + 0' A:r, k -t- 0' Ar ) A.r -(- — ( j: -t- 0' \x, y + 0' Ay) Ay,

0 et G' étant compris entre o et i .

Les valeurs des dérivées qui enlrenl dans ces formules peuvent se mettre respectivement sous la forme

— (^,jy)+£,, ^-(3^, y) -+-£2,

et par suite de la continuité de ces (juatre dérivées partielles, élaiil donné un nombre positif s, il est [)0sslble de trouver un nombre positif a tel que, dès <jue l'on a

I A.r 1< a, I Aj»' | < a,

les quatre nombres s,, =.>, £.,, î.j soient eu luodule inférieurs à t. Cela étant, on a A« = AP + / AQ, c'est-à-dire

d^ .dQ\ /àP .dQ

( 'i ) ■ \àjc Or / \ dy dy

-t- £i Sx ~ £2 ^y -+- ^( £3 ^^ -^ Si Aj' )

D'après les relations (i), on peut remplacer —-1-/---^ par

./dP .dQ\ , , . , . . ■

n -T— -f- i -7— ) • Les deux premiers termes de A;^ deviennent

dP .dQ\

h i~ ( \x -h iSy),

dx dx I "^

de sorte qu'en divisant par Ag les deux membres de (2) on a Lu dP .OQ Sx Ay .Sx . Ar

àz dx dx \z - \z Sz Sz

j Sx Sy , ,

J^es rapports —, ~ sont au plus égaux en module a 1 ; si \x

et Aj)^ tendent vers zéro d'une manière quelconque, les nombres s,, £0, £3, £4 tendent vers zéro. On a, dans ces conditions,

,. Su dP .00

Sz dx dx