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Sur le (liamèlre A' \, :; est réel: <louc
dz
dz.
ar'-l- I
Si nous faisons <;i;iu(lir I! uulélininient, la rolation ( 2) donne, à la limite,
dx = T.e-'".
En séparant dans (;ette intéyi-ale la partie réelle et le eoefficient de /, on a
cos m X
dx,= -e-'",
dx = o .
La seconde de ces relations est évidente si Ton remarque que la fonction que l'on intègre est impaire, et que, par suite, les deux parties de l'intégrale concernanl les intervalles ( — ce. o), (o, 4- 00 ) ont une somme nulle.
La première relation donne la valeur d une intégrale définie réelle.
278. Comme autre application du calcul des résidus, considérons la fonction colz. Elle a pour singularités les zéros de sins, qui sont (n" 250, p. jo ) le> mulli|)Ies de -; chacun d'eux est zéro simple pour sine. En effet, nous laNons constaté pour e =: o, et la propriété en résulte pour les autres à cause de la périodicité de sin:;. Ainsi cot:; est une fonction méromorphe qui admet comme pôles simples tous les points z = k~.
Soil a \i\\ point qu( Icoiupie tlu plan distinct des points k~. Prenons un carré V de coh-s paiallMes aux axes et de centre O, qui contienne à son intérieur le point a et flont les intersections a\ec ().r
soient de la forme x =:± (m -\ — Jtt, m étant entier ( /ig'. 28). Appliquons le théorème des résidus à l'intégrale
f colz , I CIZ.
Jr z — a
Fig. 58.
coiz
La fonction ^ a pour pôles les pôles de cot^ et le point 5 = <2.
Les pôles de cot:; contenus à l'intérieur de F sont les points o, ± tu, ± 271, . . . , rtr nnt. Le résidu K^ relatif au point z = /nz est égal à
( Z /iTZ) cote
iim
Z=hT.
Posons s = /<7i H- r-' ; on a
,. (z — hiz) col.
ou encore
iim
R/, = lim
z' cot( At: -\- z'} 'z'=o II- -^ z' — a
= lim
si 11 e' A 71 -t- 3' — a h- — a
Pour le point s = a, le résidu est colrt. Par conséquent, on a, par le théorème des résidus,
r col;
dz = -îiiz cota -7
li = 0,±i.
Cherchons maintenant à évaluer direclement l'intégrale du premier membre. Ecrivons
