X. — RKSIDIS
d'où
cote
r col :; /• c<.l z
I dz = I (fz -1- a
col z
La première inléj;rale du second membre est nulle; en efl'et, est une fonction |)aire de 3 et le contour Test symétrique par rapport à l'origine. Donc deux éléments du contour symétriques par rapport à O donnent deux éléments d'intégrale dont la somme est nulle.
Eludions la seconde intégrale lorsque F s'éloigne ind<'finiment. Evaluons le module de col;. On a
.e' cols = i —
ou, en remplaçant r par x -+- rr,
e~y( cos^ -i- i sin.r ) -h eJ( cos:r — i sin:r )
e-y(cosT -H i %[nx } — eJ'(cosa7 — i sinx)
{ ey — e y ) sina- -i- i(ey -\- e-y) cosa?
cet;; = i
coli =
( ey — e -y ) cosa: -h i( ey -+- e~y ) sin:r '
d'où, en prenant le module du niittit'raleur et le module du dZ-nominaleur.
'iey — e-y)- sin^a- -+- ( ey-i- e-r\* cos*a? cotr ' — ' '
(ey— e-y)^ cos-:r -1- ( e-' -h e-y)'- %\n.''-x
e2.v j e-iy — 2 cosaa"
Cela posé, considérons d'abord {^fig- 28) les côtés AB et DC. Sur
ces côtés, nx est de la forme (2m. H- i)?:, cos2J7 est égal à — i; donc
on a, d'après (3),
1 col- I < I.
IVenons maintenant les côtés BC et AD, et remarquons que Ion a toujours, en vertu de — i ^cos2^^ i ,
Sur BC et AD. cette limite supérieure du module est constante
puisque j' est constant. Quand j>^ croît indéfiniment, elle tend vers i .
Par conséquent, en se donnant un nombre plus grand que 1, par
exemple 2, il est possible de prendre m assez grand pour que l'on ait
en tout point de F
I cet- I < 2.
D'autre pari, si m est assez grand, on a, pour tout point :; de F,
Supposons toutes ces conditions remplies, et évaluons alors une limite supérieure du module de la seconde intégrale du second membre de (2). On a ijig- 28), comme | ; ! ^OH,
d'où, la longueur du conlour étant 8 OU,
coiz
dz
<«0"ôTP
Quand OH grandit indéfiniment, le module de cette intégrale tend
donc vers o, par suite aussi celui de / — dz. Va\ nous reportant
à l'équation (i) et faisant grandir m indéfiniment, on obtient lim / cola -\- ^
\ 1. rt l .
d'où, en mettant z- an ]i<'n de r/, et en réunissant (pour h y£ o) les deux termes
en un seul, savoir
lim / cot5
On en déduit le développement
col^ = -
