XI. — Séries entières à plusieurs variables

279. On appelle série entière à plusieurs variables (trois, par exemple, x, y, z) une série de la forme

-Aa,ri,ya7='j'P3r,

les coefficients A et les variables a?, j', 3 étant des nombres complexes.

M. — si;iiii:s i;mii:hi:s a im.i:sii:i us vaiu mm.ks, 77

Si I (III coiHiiiil iiii svslrmr de Iioin inniil)rcs iidsilils 15. 1'»', [{" lels (|uo lu sf'rie

(2) 1| Aa,[i,v|H*I^MV'Y

SOll coii\f'ri;enlc, on rcconiiiill (|ii('. |h)iii- loiil sy>lriiic de v;ilciir.s x, y. :■ lies variahlcs Irllo (|iie

(3J l^-l-K, IJ'UIV, \z\ R",

la série (1) a ses termes au pins <''^aiix en nioduic à ceux de la série niiinéri(jue con\ergeiite ( 2 ). Donc la série (i) est normalement converi;ente dans le système de cercles tléfinis par les équations (3), el représente une lonclion liolctmorplie de x, y^ z (pMiid X, y, z sont dans ces cercles. Par application des théorèmes généraux, celte fonction est dérivable terme à terme indéfiniment, en chaque pointa;, y, z, tel que | ,r | < R, | r | < R', | :; | < R" (n" 238, p. 66 ). De même, si I on a une série de la forme

et si l'on connaît (ies nondtres [\. R'. R" tels (pie la série (2 ) soit convergente, on en déduit que la série (3) i"eprésenle une fonction holomorphe de x,y, z, lorsque ^"i y, z sont, dans leurs plans respectifs, à l'intérieur des cercles de centres jc^, j'o, :;o et de rayons R, R', R".

280. Béciproquement, soit une fonction y'(a;, j^, z) de plusieurs variables complexes, holomorphe par raj)p(nt à ces variables lorsque x, y, z font partie de certains cercles de centres Xq, t'o, ^0 <Ians leurs plans res|)eclifs. Faisons d abord un changement de variables de façon à prendre pour origine dans chaque plan les points Xq-, yoi ^o- Nous aurons alors à considérer, dans les plans x, y, z^ des cei'cles C, C, C" dont chacun a son centre à lorigine, et de rayons R, R', R".

Soient x,y, z des valeurs des variables respectivement intérieures à ces cercles, et soit t une nouvelle variable. Si t reste inférieur en module aux quantités

(chacune de ces quantités devant être remplacée par 4-co si son dénominateur est nuP), les points (x, ^ r, tz sont respectivement à l'intérieur des cercles C, C, C". Donc la fonction

est holomorphe de ^ dans le cercle |^|«<P, si p est le plus petit des

trois nombres - — r' ~, — r ' -; — r- Ces trois nombres étant supérieurs

1^1 Ijk| ^J-l '

à I, le point ^ = i est à l'intérieur de ce dernier cercle; par conséf|uent, la fonction csf^) est développable en série de Taylor pour la valeur / = i , et Ton a

cp(i) = ci(o)-+- l./(o)+...+ -i^(«)(o)+.... Calculons les dérivées successives de '-5(/); on a

^'{t) = x — {tx,ty,tz)-\-y ^{tx, ty, t z) ^ z -^{tx, t y, tz),

<?^"^(t) = (xf-^y^-^z^] ,

d'où

ou, en développant la puissance symbolique,

cp(«)(o) = y--^(' ^-^j ) x-^y^z^,

le signe 2 étant étendu à toutes les combinaisons des entiers positifs ou nuls a, ^, y telles que a + ^i + y = /j.

En portant cette valeur de '^^"'(o) dans le développement de '-5(1), et revenant à la fonction y. on obtient

1 /(^,JK,2) =/{o, o, 0)-+-...

<•) ', -i- > , r,, , r^^ x^y?zy^....

/ .^^ a ! 3 1 Y ! \ Ox^ oy'^ Oz^ / 0,0,0

281. Dans la série (i), tous les termes en x'^y'^z'^ pour lesquels la somme a H- ^ H- y est la même sont réunis en un seul. Je dis, en outre, que l'on peut séparer les différents ternies en x'^y^z^ et les placer dans un ordre quelconque. Il suffit pour cela de vérifier que la série ainsi obtenue, que nous désignerons par

Ja^ ôx^ ôy? oz^, ^ • ^ • ( •

«st absolument convergente quels que soient x, t, :;, pris à l'intérieur de C, C, C".

Pour faire cette vérification, nous allons d'abord calculer une limite supérieure du module des dérivées de /. Soit M une borne

M. — SKUIKS KMIKUKS A l'I.I SIKl US \ A llf AIIMCS. 79

supérieure de |/'| (l;ms C, C, (/'. (.loiisidirons uno (lciiv('(; dt; l;i

forme -t-%' '*>U|)j)()Son.s (|iu' i- el r ;iicnl reçu des \idcur>. fixes; on a

Comme on a d'aulre pari

I Je ^""•'

il en résulte

^»-fl/

Gela étant, fixons ^, el considérons la (lérivée ( — — '-=^ ) On a

et l'on en déduit de la même façon

dx^ àyp

On a enfin

d'où

oi«+?-"T/(o, o, o) I ,, g ! 3 ! Y !

1 (J^r* dj^f* dzT r RaR'^R'r Cela posé, considérons la fonction auxiliaire

(-R)(-fr)^-^) En supposant | j- 1 < R, | ) ; < R', | :; l < R", on a