I -4- tt;; H

8o CHAPITRE IV. — FONCTIONS ANALYTIQUES.

Par niulliplicatioii des deux premières séries, qui sont absolument convergentes, on voit (luc la fonction a pour déve-

loppement la série ^^ \ ,^; puis, en multipliant par la troisième,

, , , . • "Sn M.x'^ >'?^ï 1 on reconnaît que 'j est representahie |)ar la série > ^— > les

termes de cette série étant écrits dans un ordre quelconque et le développement étant valable dès que l'on a |.r|<:;R, |y|-<R', ]z\<R".

En comparant le coefficient du terme géni-ral de celte série en x, y, z avec la borne supérieure obtenue pour le module de la dérivée

^ > on \oil(|ue dans le développement ( i ) de f(ic, r, s),

dx^oyiidzy ' ' ' V / y V './' /'

le terme en x^y'i^ z^ a un coefficient moindre en module que le coefficient correspondant dans le dévelopj)ement de ci.

Comme le développement de cp forme une série convergente, on en conclut que la série (2), obtenue en écrivant les termes de (1) dans un ordre quelconque, est absolument convergente, ce qui établit la proposition.

!28!2. En revenant au cas général où les cercles d'bolomorphie G, C, C" ont pour centres des points .Tq, Vo? ^05 *"^ ^7 P*^^^^' /{■^■> yj ^)^ ^^ développement suivant :

a, ^, V prenant tous les systèmes de valeurs entières positives ou nulles.

Le développement est unique, cest-à-dire qu'il ne peut y avoir pour une même fonction deux développements difïerents.

En effet, soit

un autre développement. D'après le n" 279, p. 'j-, la série (5) est dérivable terme à terme. Si l'on prend a fois la dérivée par rapport à .r, |j fois la dérivée par rapport k y, v fois la dérivée par rapport à z, et si l'on fait x = Xq, y =yo, z = Zo, on obtient l'égalité

Donc le second développement est identique au premier.

M. Si:iUi;S KNTIKUKS A IM.l SIF.i H« \ MIIAril r«. 8|

On flil (jii iiiH' loïKiioii fi.r. y. z) «^sl rr u ni nTr |>oiic If »«vs|rnif' (le Niilciir-^ ,r„, i',,, ::„ si vWv fsl lioloiiiorplic (|ii.iiiil ,r. y, z sont rrsppclivemenl i\ rinUM'iciii' (\o crrliuiis cercles <!(• cfnlrfs ./■„. y^, ::„. I^n loiil point r<'';^iilicr (rime fonction, los rc-snltats pi't'côflonts sont npplic;il)l<'s.

28)^. Opérations sur tes séries entières. — Il arrive sonvr-nl <\\\r Ion |ieiil. par application des thcorcincs f;cn('raiix. montrer (piiinc ionnlion (li'linici! une certaine manière est liojomorplie. Il en résulte, d après ce (pu précède, qn elle est développahie en série entière : si l'on peut dune façon quelconque former cette série, on sera d'avance assuré de sa convergence. On peut, en particulier, pour calculer ses coefficients, emplover la méthode des coefficients indéterminés.

Soit, par exemple, une fonction holomorphe

dont le développement est valable dans un certain cercle. Les fonctions i'-, y'K ... sont fonctions holomorphes de x dans le même cercle. Chacune d elles est donc représentahle par une série entière. On obtiendra y- par la multiplication des séries

y- ^= (il -\- 1 <7o «1 X -!- ( a\ -^ 7. a Q a o) T- -^ . . . .

On peut trouver de même les développements de r''

Picmarquons que le coefficient de xP dans le dévelopj)cmenl dune puissance quelconque de y dépend seulement de r/„, a,, . . ., np.

Ln calcul analogue permet d'avoir l'expression du produit j-c, y et c étant deux fonctions holomorphes de jc données par leurs développements en séries entières.

On peut de même calculer le quotient de deux fonctions holomorphes et l'obtenir sous form'e de série entière. Soient /"et es deux fonctions holomorphes dans certains cercles de centre O, '^ avant pour X = o une valeur ditlérente de o. Soient

/= «(,-1- «,.r -i-. . . , o =^ l}ç>^ l>iX —. . . (fjo^o).

Considérons le quotient

rtn^- <T|.r — . . .

b„ -+- lj,.r —

Soit C un cercle dliolomorphie commun aux deux fonctions. Puisque P.. — II. 6

82 CIIAI'ITIIK IV. — FONCTIONS ANAI.VTIQl KS.

b(f^ o, il y a un cercle C de centre O, contenu dans C, à rinlérieui-

f duquel es est diffiM-ent de o. Dans le cercle G', le ([uolienf- est liolo-

niorphe.

\in posant

nous devons avoir- liileulilé

«0 -H « 1 ^" H- . . . = t /^o -H Aj .r -4- . . . ) ( Cj — Cl ar -I- . . . ),

d"où

«0 = ^oCu, «1 = ^o'i -^ ^1 fort.) =^ h„Ci -+- /Ji Cl H- A^Co,

b^ étant dilTërent de o. la |)reniièi(! relation loiiriiiL Tq, la seconde C|, la troisième Co, et ainsi de suite. On a ainsi tous les coefficients de proclie en proche.

Ou j)rocéderait d uue manière identique s'il s'agissait de séries entières à plusieurs variables.

284. Substitution cVuiw série entière dans cV autres séries entières. — Soit

u =/ij', :■,...)

une fonction holomorj)he des variables )', ;. ..., qui sont ellesmêmes fonctions holomorphes de la variable complexe .r. Considérons les développements en séries entières de ces différentes fonctions :

(1) 11^ A.-hBy -^Cz ^Dy--{-Ejz^Fz'-^...,

( 2 ) y — a -\- bx -\- c.r'^ -h. . .,

Supposons que les points y z= a, z = a' soient intérieurs aux cercles dholomorphie relatifs à la fonction f. Dans ces conditions, on peut trouver des cercles y, y' de centres respectifs a, a', contenus respectivement dans les cercles dholomorphie relatifs à /. (^uand x reste dans un certain cercle T de centre O dans son plan, y et z restent dans v et y'; u est alors fonction holomorphe de x. Soit

M. — SÉRIES ENTIKRICS A PMISIKUnS VUUMII.KS. 83

son cl(''vel()|)p(Mn('nl. Le Iciiiu' consliml a ol l;i \;iliiii d'- // [iDiir ./• = o. On a doue

a = A-i- Ma -t- Ga'-h Urt" +-

Supposons qu'on reniplaoe dans {\)y et r par leurs développeMimls et qu'on calcide dans le nouveau dévelop|)enient ohlenu le coeriiciful de X, ce coefficient sera éj^al à |î, par identification avec ( /j i. Ou peut ainsi, par identifications successives, obtenir tous les coefficients de (4)- On reconnaît que Ion peut écrire (4) sous forme d'une série double, de la façon suivante :

A-hBa -hCa' -f-

-+- Bcx- -T- Ce' x'--\- . . ..

Eu résumé^ on voit que Ton peut effectuer la substitution de r et z par les séries qui les re|)résentent, le nouveau développement obtenu étant valable dans un certain cercle V du plan des x.

28o. Fonctions ini/dicites. — Soit

une équation dans laquelle /(.r, r) est une fonction liolomor|)lif de X, y dans certains cercles avant pour centres les origines de leurs plans respectifs. On suppose, en outre, que l'on a

/(0,0) = 0, ^(O, Ojjzéo.

Dans ces conditions, il existe ( n" 210, p. i i) pour y une fonction déterminée de x^ holomorphe par rapport à x dans un certain domaine entourant Torigine du plan des x et satisfaisant à /= o. Cette fonction liolomorpbe est représentable dans un certain domaine par une série entière. D'ailleurs, / est aussi représentable par une série entière, que nous pouvons C(jnsidérer comme connue. Soit donc

f — S.X ^ Bj' -4- Cx'^-r- -iDxY -^ E.>'--H- • ■ ( B -c O),

y =^ ax -k- bx'^ -~ . . ..

Remplaçons r |)ar son di''\ eloppement dans / et écrivons que la fonction de x obtenue est idcnlicpienient nulle. On obtient les rela-

lions

CIIAIMTHIC IV.

FONCTIONS ANALYTIQIES.

2 Da -i- Ea- =: O,

B étant dillérenl de o. la première détermine a, la seconde détermine b, et ainsi de suite de proche en proche.

Dans tous ces exemples, on voit que les coefficients incoumi.s se déterminent cliacmi pai- une écpialitm linéaire. Par suite, si les coefficients des fonctions données sont tous réels, il en est de même pour les coefficients obtenus.

CIIAPITHE V.

ÉQUATIONS LUll'ÉlŒMlELLliS.